[论文解读] Towards the QCD String: 2+1 dimensional Yang-Mills theory in the planar limit

Robert G. Leigh, Djordje Minić|ArXiv.org|Jul 7, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文利用卡巴拉利-内尔的规范不变全纯集体场，研究了2+1维SU(N)杨-米尔斯理论的平面极限，将哈密顿量约化为单重态扇区的一维矩阵模型。推导出显式的色散关系 ω(k) = √(k² + mₙ²)，其中 mₙ = n mᵣ，mᵣ 由't Hooft耦合常数决定的重正化质量，确立了在大N、低动量极限下的质量间隙和类似禁闭的行为。

ABSTRACT

We study the large N (planar) limit of pure SU(N) 2+1 dimensional Yang-Mills theory (YM_{2+1}) using a gauge-invariant matrix parameterization introduced by Karabali and Nair. This formulation crucially relies on the properties of local holomorphic gauge invariant collective fields in the Hamiltonian formulation of YM_{2+1}. We show that the spectrum in the planar limit of this theory can be explicitly determined in the $N=\infty$, low momentum (large 't Hooft coupling) limit, using the technology of the Eguchi-Kawai reduction and the existing knowledge concerning the one-matrix model. The dispersion relation describing the planar YM_{2+1} spectrum reads as $ω(\vec{k}) = \sqrt{\vec{k}^2 + m_n^2}$, where $n=1,2,...$ and $m_n = n m_r$, where $m_r$ denotes the renormalized mass, the bare mass m being determined by the planar 't Hooft coupling $g_{YM}^2 N$ via $m= \frac{g_{YM}^2 N}{2 π}$. The planar, low momentum limit, also captures the expected short and long distance physics of YM_{2+1} and gives an interesting new picture of confinement. The computation of the spectrum is possible due to a reduction of the YM_{2+1} Hamiltonian for the large 't Hooft coupling to the {\it singlet} sector of an effective one matrix model. The crucial observation is that the correct vacuum (the large N master field), consistent with the area law and the existence of a mass gap, is described by an effective quadratic matrix model, in the large N, large 't Hooft coupling limit.

研究动机与目标

• 理解2+1维杨-米尔斯理论的大N极限，该理论是一种具有渐近自由和禁闭性质的非平凡量子场论。
• 利用基于卡巴拉利-内尔集体场的规范不变形式，确定平面杨-米尔斯理论的谱。
• 证明在大't Hooft耦合常数极限下，平面真空会从一个有效二次矩阵模型中涌现出具有质量间隙和面积律行为的特性。
• 在低动量区域建立规范不变集体场的动量展开有效场论。

提出的方法

• 利用卡巴拉利-内尔将2+1维杨-米尔斯理论参数化为局部全纯场，实现基于集体变量的哈密顿量形式。
• 应用埃古奇-卡瓦大N约化，将平面杨-米尔斯哈密顿量映射为有效单厄米特矩阵模型的单重态扇区。
• 通过将大N主场识别为有效二次矩阵模型的解，推导出平面扇区的自洽间隙方程。
• 在低动量（大't Hooft耦合常数）极限下，对约化后的平面有效作用量进行动量展开。
• 利用单矩阵模型的技术及已知的谱结果，计算物理色散关系。
• 依赖平面真空的局部全纯规范不变性来选择单重态扇区，确保与禁闭和面积律的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大N、低动量极限下，能否显式计算平面2+1D杨-米尔斯理论的谱？
• RQ2 该理论中的大N主场是否对应一个能捕捉质量间隙和面积律的二次矩阵模型？
• RQ3 物理激发的色散关系如何从平面极限下的约化矩阵模型中涌现？
• RQ4 卡巴拉利-内尔集体场在实现平面杨-米尔斯理论可解形式中起到什么作用？

主要发现

• 平面2+1D杨-米尔斯理论的谱由相对论色散关系 ω(k) = √(k² + mₙ²) 给出，其中 mₙ = n mᵣ，n = 1, 2, ... 。
• 质量间隙由 mᵣ 决定，其由't Hooft耦合常数确定为 m = g²_YM N / (2π)，其中 m 为裸质量，mᵣ 为重正化质量。
• 正确的真空，与面积律和质量间隙一致，由大N和大't Hooft耦合常数极限下的有效二次矩阵模型描述。
• 平面低动量极限同时捕捉了原始杨-米尔斯理论的短程和长程物理，包括禁闭行为。
• 杨-米尔斯哈密顿量约化为单重态扇区的一维矩阵模型，原则上可显式计算谱和关联函数。