[论文解读] Towards Vertex Algebras of Krichever-Novikov Type, Part I

Klaus-Juergen Linde|ArXiv.org|May 29, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过引入基灵-诺维科夫型顶点代数，将顶点代数推广至高亏格黎曼曲面，其中标准洛朗级数场被换为典范丛幂的截面，且算子乘积展开通过施托奇-克莱因基本形式与泽戈核重新表述。关键贡献在于提出了一种新的顶点代数定义，当亏格为零时退化为经典情形。

ABSTRACT

It is shown that a certain representation of the Heisenberg type Krichever-Novikov algebra gives rise to a state field correspondence that is quite similar to the vertex algebra structure of the usual Heisenberg algebra. Finally a definition of Krichever-Novikov type vertex algebras is proposed and its relation to vertex algebras is discussed.

研究动机与目标

• 将顶点代数的概念从黎曼球面（亏格0）推广至高亏格黎曼曲面。
• 通过典范丛幂的亚纯截面定义态-场对应。
• 使用施托奇-克莱因基本形式替代形式变量差，重新表述局部性公理。
• 建立与紧黎曼曲面上共形场论相容的框架。
• 证明所提出的定义在亏格为零时退化为经典顶点代数结构。

提出的方法

• 定义一个态-场对应，将向量空间V的元素映射为包含典范丛截面与泽戈核展开的正式级数的自同态。
• 在黎曼曲面上使用场的正规有序积，将泽戈核作为核函数。
• 引入平展算子∇，作为经典情形中导数∂的几何类比。
• 将标准局部性条件[a(z),b(w)](z−w)^N = 0替换为[Y(A,P),Y(B,Q)](E(P,Q))^N在X×X上为亚纯且多值的。
• 利用从泽戈核导出的狄拉克分布Δ(P,Q)及其导数d_PΔ(P,Q)，表述算子乘积展开。
• 构造一个海森伯型基灵-诺维科夫代数的表示，该表示诱导出类似于经典顶点代数结构的态-场对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用典范丛与基本形式等几何数据，将标准顶点代数结构推广至高亏格黎曼曲面？
• RQ2 在高亏格共形场论中，算子乘积展开应如何修改，以保持与几何结构的一致性？
• RQ3 在亏格g ≥ 1的黎曼曲面上，真空与平移公理的适当类比是什么？
• RQ4 当复参数被黎曼曲面上的几何数据取代时，经典顶点代数中的局部性条件如何变换？
• RQ5 所提出的基灵-诺维科夫型顶点代数定义在限制于亏格零时是否能恢复经典顶点代数？

主要发现

• 所提出的基灵-诺维科夫型顶点代数定义在亏格为零时退化为经典顶点代数，其中单项式z^{-n-λ}取代了几何截面f_λ^n(P)。
• 平移公理由协变导数∇推广，该导数取代了经典情形中的标准导数∂。
• 局部性公理由施托奇-克莱因基本形式E(P,Q)重新表述，使得[Y(A,P),Y(B,Q)](E(P,Q))^N在X×X上为亚纯且多值的。
• 仿射基灵-诺维科夫代数的算子乘积展开表示为[a(P),b(Q)] = [a,b](P)Δ(P,Q) + d_PΔ(P,Q)，其中Δ(P,Q)为泽戈核导出的狄拉克分布。
• 证明了乘积[a(P),b(Q)](E(P,Q))^2在X×X上为全纯的，从而确认了广义局部性条件的一致性。
• 通过海森伯型KN代数表示构造态-场对应，得到的结构与经典顶点代数类似，验证了该几何推广的合理性。