[论文解读] TQFT computations and experiments

Norbert A’Campo|ArXiv.org|Nov 30, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出了一套计算框架 TQFT，用于显式计算 3D TQFT 中映射类群在 Verlinde 模上的项目化表示。利用 Pari-gp 和 Roberts、Masbaum 与 Vogel 的融合规则，该程序通过三价图的容许着色计算德恩扭转作用，表明 TQFT 不变量可通过分圆域中的迹不变量检测非共轭的单值性作用，从而区分具有相同经典不变量的突变纽结。

ABSTRACT

With the help of a new program, we do computations concerning the Witten-Reshetikhin-Turaev representations of mapping class groups. In particular we distinguish some mutant fibered knots. The program can be downloaded from http://www.geometrie.ch/TQFT

研究动机与目标

• 开发一种用于显式计算映射类群在 Verlinde 模上 TQFT 表示的计算工具。
• 实现 Roberts、Masbaum 与 Vogel 的融合规则，以在量子不变量计算中实现高效性。
• 检验 TQFT 不变量是否能区分经典不变量无法区分的突变纽结。
• 探索不同纽结类型在 PGL(n, C_{2k+4}) 中单值性表示的非共轭性。
• 研究 TQFT 表示是否能检测 SL(2,Z) 在更高层次上的非共轭元素。

提出的方法

• 程序 TQFT 使用 Pari-gp 在分圆域 C_{2k+4} = Q(A)/(Φ_{2k+4}(A)) 上计算 Verlinde 模上的矩阵。
• 三价图 Γ_g 的容许 (k,i)-着色由满足三角不等式和和不等式的偶数边颜色定义，且边界颜色 i 固定。
• 映射类群生成元（关于 A_e 和 B_r 的德恩扭转）通过其在 Verlinde 模基底元素上的作用实现为矩阵。
• 程序通过 init_so(k) 和 init_boom_so([0,1,...,g-1],i) 初始化，以设定级别并计算容许着色的基。
• 矩阵作用通过 twA(e) 和 twB(r) 计算，结果存储于分圆域中以供迹分析。
• 计算单值性矩阵的迹不变量（最高至三阶幂），并通过比较以检测 PGL(n, C_{2k+4}) 中的非共轭性。

实验结果

研究问题

• RQ1 TQFT 不变量能否区分 Kauffman、HOMFLY 和 Khovanov 不变量无法区分的突变纽结？
• RQ2 slalom 纽结的 TQFT 单值映射表示在 PGL(n, C_{2k+4}) 中是否产生非共轭矩阵？
• RQ3 是否存在一个奇数 k ≥ 3，使得 SL(2,Z) 中的非共轭元素在 TQFT 表示下仍保持非共轭？
• RQ4 当低阶迹相等时，单值性矩阵的幂的迹是否能检测出 TQFT 表示的差异？
• RQ5 由于共轭元素的像在 TQFT 表示下不共轭，映射类群的 TQFT 表示是否无法扩张至 GL(2,Z)？

主要发现

• 对于亏格 g=1 且 k=7 的情况，TQFT 表示 ρ₇: SL(2,Z) → PGL(3,C₁₈) 无法扩张至 GL(2,Z)，因为 SL(2,Z) 中共轭元素的像在 PGL(3,C₁₈) 中不共轭。
• 在水平 k=5 时，SL(2,Z) 中矩阵 a=[7,3;2,1] 和 b=[7,1;6,1] 在 PGL(2,C₁₄) 中不共轭，尽管它们在 SL(2,Q) 中共轭。
• 对于突变纽结对 15n30444 和 15n30419，TQFT 作用在 V⁶_{3,0} 上的一、二阶幂迹相等，但三阶幂迹不同，证明其在 PGL(675,C₁₀) 中非共轭。
• 15n30444/15n30419 对的计算耗时 2 分钟 18.84 秒，生成了 675×675 的矩阵，迹差异在三阶幂时显现。
• 对于亏格 5 的 slalom 纽结且 i=2，TQFT 作用在 V⁵_{3,2}（大小为 275）上的一、二阶幂迹相等，但三阶幂迹不同，确认了非共轭性。
• 该程序成功通过分圆域中迹不变量检测非共轭单值性作用，区分了具有相同 Kauffman、HOMFLY 和 Khovanov 不变量的纽结。