[论文解读] Trace and extension theorems for functions of bounded variation

Lukáš Malý, Nageswari Shanmugalingam+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research被引用 1

一句话总结

该论文证明了在具有1-Poincaré不等式且边界余维数为1的Ahlfors正则的加倍度量测度空间中，Ω边界上任意L1函数均可作为BV(Ω)中某个函数的迹。论文构造了一个从L1(∂Ω)到BV(Ω)的有界非线性延拓算子，以及一个从Besov空间B01,1(∂Ω)到BV(Ω)的有界线性延拓算子，从而确定BV(Ω)的迹类恰好为L1(∂Ω)。

ABSTRACT

In this paper we show that every $L^1$-integrable function on $\partial\Omega$ can be obtained as the trace of a function of bounded variation in $\Omega$ whenever $\Omega$ is a domain with regular boundary $\partial\Omega$ in a doubling metric measure space. In particular, the trace class of $BV(\Omega)$ is $L^1(\partial\Omega)$ provided that $\Omega$ supports a 1-Poincar\'e inequality. We also construct a bounded linear extension from a Besov class of functions on $\partial\Omega$ to $BV(\Omega)$.

研究动机与目标

• 在一般度量测度空间设定下，确定BV函数的迹类。
• 从Besov空间B01,1(∂Ω)构造一个到BV(Ω)的有界线性延拓算子。
• 从L1(∂Ω)构造一个到BV(Ω)的有界非线性延拓算子。
• 在区域的自然几何与解析条件下，证明BV(Ω)的迹类恰好为L1(∂Ω)。

提出的方法

• 使用Ω的Whitney型分解来定义与边界相适应的单位分解。
• 通过截断边界函数的加权延拓之和来定义延拓算子F。
• 应用上梯度的乘积法则来估计扩展函数的总变差。
• 利用∂Ω的余维数1 Ahlfors正则性与测度的加倍性质来控制迹范数。
• 利用1-Poincaré不等式与测度密度条件来保证迹的存在性与有界性。
• 应用先前工作[30]中的迹定理，验证所构造的延拓在迹意义下能恢复原函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有正则边界的广义度量测度空间中，BV(Ω)的精确迹类是什么？
• RQ2 ∂Ω上的每个L1函数是否都能延拓为BV(Ω)中的函数并保持相同的迹？
• RQ3 是否存在从B01,1(∂Ω)到BV(Ω)的有界线性延拓算子？
• RQ4 从L1(∂Ω)到BV(Ω)的延拓能否为线性？若不能，原因是什么？
• RQ5 在何种几何与解析条件下，迹算子T: BV(Ω) → L1(∂Ω)成为满射？

主要发现

• 当Ω是加倍度量测度空间中满足1-Poincaré不等式、测度密度条件(1.5)且边界余维数为1的Ahlfors正则的有界区域时，BV(Ω)的迹类恰好为L1(∂Ω)。
• 存在一个有界线性延拓算子E: B01,1(∂Ω) → BV(Ω)，使得T∘E在B01,1(∂Ω)上为恒等算子。
• 存在一个有界非线性延拓算子Ext: L1(∂Ω) → BV(Ω)，使得T∘Ext在L1(∂Ω)上为恒等算子。
• 通过反例及先前结果[34, 35]可知，从L1(∂Ω)到BV(Ω)的延拓不能为线性。
• 该构造依赖于Whitney型覆盖与单位分解，以控制扩展函数的总变差。
• 扩展函数F的迹几乎处处（H-几乎处处）在∂Ω上恢复原函数f ∈ L1(∂Ω)，该结论通过平均的L1收敛性得以证明。