[论文解读] Trace and extension theorems for homogeneous Sobolev and Besov spaces for unbounded uniform domains in metric measure spaces

Ryan Gibara, Nageswari Shanmugalingam|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2022

Advanced Harmonic Analysis Research被引用 5

一句话总结

本文在具有加倍测度和Poincaré不等式的度量测度空间中，建立了无界一致域上齐次Sobolev空间与Besov空间的迹和延拓定理。在满足 $ 0 < \theta < p $ 的 $ \theta $-余维测度条件下，证明了从Dirichlet-Sobolev空间 $ D^{1,p}(\bar{\Omega}) $ 到齐次Besov空间 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 存在一个有界线性迹算子，且存在反方向的有界线性延拓算子。

ABSTRACT

In this paper we fix $1\le p&lt;\infty$ and consider $(\Om,d,μ)$ be an unbounded, locally compact, non-complete metric measure space equipped with a doubling measure $μ$ supporting a $p$-Poincaré inequality such that $\Om$ is a uniform domain in its completion $\bar\Om$. We realize the trace of functions in the Dirichlet-Sobolev space $D^{1,p}(\Om)$ on the boundary $\partial\Om$ as functions in the homogeneous Besov space $HB^α_{p,p}(\partial\Om)$ for suitable $α$; here, $\partial\Om$ is equipped with a non-atomic Borel regular measure $ν$. We show that if $ν$ satisfies a $θ$-codimensional condition with respect to $μ$ for some $0&lt;θ

研究动机与目标

• 将迹和延拓定理从有界域推广到度量测度空间中的无界一致域。
• 刻画齐次Dirichlet-Sobolev空间 $ D^{1,p}(\Omega) $ 中函数在边界上的迹，作为齐次Besov空间 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 中的元素。
• 建立从 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 到 $ D^{1,p}(\Omega) $ 的有界线性延拓算子，且其迹算子为其左逆。
• 处理边界 $ \partial\Omega $ 无界的情形，此情形在先前针对有界域的研究中未被涵盖。
• 阐明边界测度 $ \nu $ 上的 $ \theta $-余维条件对迹和延拓算子有效性的作用。

提出的方法

• 利用域 $ \Omega $ 的Whitney型覆盖，通过 dyadic Whitney 球 $ B_{i,j} $ 及其相关的单位分解 $ \{\varphi_{i,j}\} $。
• 通过定义 $ F(x) = \sum_{i,j} \left( \fint_{U_{i,j}} f\, d\nu \right) \varphi_{i,j}(x) $ 构造延拓算子 $ E $，其中 $ f \in HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $，且 $ U_{i,j} \subset \partial\Omega $ 为与Whitney球相关联的边界集。
• 应用 $ \theta $-余维条件：$ \frac{1}{C} \nu(B(\zeta,r)\cap\partial\Omega) \leq \frac{\mu(B(\zeta,r)\cap\Omega)}{r^\theta} \leq C \nu(B(\zeta,r)\cap\partial\Omega) $，以控制测度比较。
• 利用Hölder不等式和 $ \mu $ 的加倍性质，将延拓函数 $ F $ 的 $ L^p $-范数以 $ f $ 的Besov半范数为界。
• 证明迹算子 $ T $ 满足 $ \lim_{r\to 0^+} \fint_{B(\zeta,r)\cap\Omega} |u - Tu(\zeta)|\, d\mu = 0 $ 对 $ \nu $-几乎处处的 $ \zeta \in \partial\Omega $ 成立，从而确保逐点 a.e. 的迹行为。
• 证明复合算子 $ T \circ E $ 在 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 上恒等，确认延拓算子为右逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 齐次Sobolev与Besov空间的迹和延拓定理能否推广到度量测度空间中的无界一致域？
• RQ2 边界测度 $ \nu $ 需要满足何种条件，才能保证有界线性迹算子与延拓算子的存在？
• RQ3 $ \nu $ 上的 $ \theta $-余维条件如何影响迹与延拓算子的正则性？
• RQ4 当 $ \partial\Omega $ 无界时，齐次Besov空间 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 是否为 $ D^{1,p}(\Omega) $ 的正确迹类？
• RQ5 当 $ \partial\Omega $ 无界且 $ 0 < \theta < p $ 时，延拓算子是否为线性且有界的？

主要发现

• 在满足 $ 0 < \theta < p $ 的 $ \theta $-余维条件下，存在有界线性迹算子 $ T: D^{1,p}(\Omega) \to HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $。
• 迹算子满足 $ \lim_{r\to 0^+} \fint_{B(\zeta,r)\cap\Omega} |u - Tu(\zeta)|\, d\mu = 0 $ 对 $ \nu $-几乎处处的 $ \zeta \in \partial\Omega $ 成立，确保逐点 a.e. 的迹行为。
• 存在有界线性延拓算子 $ E: HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) \to D^{1,p}(\Omega) $，使得 $ T \circ E $ 在 $ HB^{1-\theta/p}_{p,p}(\partial\Omega) $ 上恒等。
• 延拓算子通过Whitney分解和边界集上的平均构造，其 $ L^p $-范数控制依赖于 $ \theta $-余维性以及 $ \mu $ 和 $ \nu $ 的加倍性。
• 即使 $ \partial\Omega $ 无界，该结果依然成立，而此前的工作均要求边界有界。
• 当 $ p=1 $ 时，定理要求 $ 0 < \theta < 1 $，因为 $ \theta = 1 $ 会导致 $ L^1 $-迹与非线性延拓；而此处 $ \theta < 1 $ 确保了线性有界延拓。