[论文解读] Trace- and pseudo-products: restriction-like semigroups with a band of projections

D. G. FitzGerald, Michael Kinyon|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2021

semigroups and automata theory参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文在投影构成带的范畴与半群中引入了迹和伪积，推广了Ehresmann-Schein-Nambooripad（ESN）定理。它建立了具有带形投影的转录范畴与一类半群之间的自对偶、双侧等价关系，表明∗-局部化半群恰好对应于转录群胚。其主要贡献在于，在不需投影可交换或幂等元构成半格的前提下，实现了保持对偶性的、基于带的ESN型等价关系的推广。

ABSTRACT

We ascertain conditions and structures on categories and semigroups which admit the construction of pseudo-products and trace products respectively, making their connection as precise as possible. This topic is modelled on the ESN Theorem and its generalization to ample semigroups. Unlike some other variants of ESN, it is self-dual (two-sided), and the condition of commuting projections is relaxed. The condition that projections form a band (are closed under multiplication) is shown to be a very natural one. One-sided reducts are considered, and compared to (generalized) D-semigroups. Finally the special case when the category is a groupoid is examined.

研究动机与目标

• 通过放宽投影可交换的要求，转而要求其构成一个带，以推广ESN定理。
• 通过迹与伪积，建立具有带形投影的范畴（即转录范畴）与一类半群之间的精确、自对偶的双侧对应关系。
• 阐明带形投影在扩展逆半群与群胚结构中的作用，特别是在限制型半群的语境下。
• 考察底层范畴为群胚的特殊情况，表明∗-局部化半群恰好是来自转录群胚的半群。

提出的方法

• 将转录范畴定义为具有两个一元运算|的范畴，其分别作为左限制与右限制，满足公理(3.1a)–(3.1f)，确保恒等元集C+在e|f下构成一个带。
• 引入伪积x ⊗y = (x|y+) ◦(x−|y)，其同时扩展了范畴运算◦与限制运算|，并证明其结合性与结构兼容性。
• 证明当伪积构造应用于转录范畴时，可生成一个局部化半群(S, ·, +, −)，其中x+ = xx∗且x− = x∗x。
• 通过公理(8.1a)–(8.1e)定义∗-局部化半群，其推广了正则∗-半群，并确保存在一个相容的对合∗，满足x∗∗= x且固定所有幂等元。
• 证明一个半群是∗-局部化当且仅当其关联范畴C(S)是一个转录群胚，从而建立了范畴对偶性。
• 利用对偶性证明：在∗-局部化半群中，每个幂等元e满足e+ = e− = e，因此所有幂等元均为投影，且该半群为正则的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有带形投影的范畴可允许通过迹或伪积构造恢复出半群结构？
• RQ2 投影的带条件（对乘法封闭）如何推广或放松标准ESN定理的假设，特别是可交换幂等元的要求？
• RQ3 伪积构造的精确范畴对偶是什么？理论如何保持自对偶性？
• RQ4 ∗-局部化半群与转录群胚之间有何关系？对合∗在此对偶中起何作用？
• RQ5 在群胚情形下，伪积构造会引出何种结构性质（如幂等元为投影）？

主要发现

• 伪积x ⊗y = (x|y+) ◦(x−|y)是结合的，并同时扩展了范畴运算与限制映射，构成范畴上一个良定义的二元运算。
• 一个范畴是转录范畴当且仅当其关联半群S(C)是局部化半群，从而建立了范畴-结构对偶性。
• 半群(S, ·, ∗)是∗-局部化当且仅当其关联范畴C(S)是转录群胚，提供了完整的范畴刻画。
• 在∗-局部化半群中，每个幂等元e满足e+ = e− = e，因此所有幂等元均为投影，且该半群为正则的。
• ∗-局部化半群中的对合∗满足x∗∗= x且固定所有幂等元，公理(8.1a)–(8.1e)确保其与局部化结构兼容。
• 该理论具有自对偶性：伪积构造以及左右作用之间的对偶性在反转所有运算下保持不变。