[论文解读] Trace asymptotics for subordinate semigroups

Rodrigo Bañuelos, Fabrice Baudoin|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了在紧致黎曼流形上由子序拉普拉斯算子生成的子序半群的小时间迹渐近性质。通过利用威耳（Weyl）定律与卡拉马塔（Karamata）Tauber 定理，证明了与 $\psi(-\Delta)$ 相关的热半群的迹在 $t \to 0^+$ 时的渐近行为为 $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t) \sim C \cdot \varphi(1/t)^{n/2}$，其中 $\psi$ 是一个正规变型的 Bernstein 函数，从而将先前关于 $\alpha$-稳定过程的结果推广至更广泛的子序器类。

ABSTRACT

We address a conjecture of D. Applebaum on small time trace asymptotics for subordinate Brownian motion on compact manifolds.

研究动机与目标

• 解决 D. Applebaum 关于紧致李群上 $\alpha$-稳定过程的小时间迹渐近性质的猜想。
• 将迹渐近性质的结论从柯西过程（$\alpha=1$）推广至紧致黎曼流形上更广泛的子序半群类。
• 为由 $\psi(-\Delta)$ 生成的热半群的迹建立一个通用的渐近公式，其中 $\psi$ 是具有正规变型拉普拉斯指数的 Bernstein 函数。
• 证明迹的渐近行为由拉普拉斯指数 $\psi$ 的逆函数与流形的体积共同决定，通过谱计数函数分析实现。

提出的方法

• 利用博赫纳（Bochner）子序化原理，通过在紧致流形 $\mathbb{M}$ 上对布朗运动进行子序化，定义半群 $\mathbf{Q}_t$。
• 将热核 $q(t,x,y)$ 表达为标准热核 $p(s,x,y)$ 对子序器分布 $\eta_t$ 的积分形式。
• 通过谱分解，将迹 $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ 表示为特征值之和：$\sum_{k=0}^\infty e^{-\psi(\lambda_k)t}$。
• 应用威耳定律于特征值计数函数 $N(\lambda) \sim C \lambda^{n/2}$，将 $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ 的渐近行为与 $\psi^{-1}$ 的行为关联起来。
• 应用卡拉马塔 Tauber 定理，将谱计数函数 $N^\psi(\lambda)$ 在 $\lambda$ 较大时的行为与 $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ 在 $t$ 较小时的行为联系起来。
• 分析 $\psi$ 在无穷远处为正规变型且指标 $r > 0$ 的情形，导出涉及反函数 $\varphi = \psi^{-1}$ 的渐近公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $SU(2)$ 与 $SO(3)$ 上对柯西过程观测到的小时间迹渐近行为是否可推广至所有紧致李群上的 $\alpha$-稳定过程？
• RQ2 能否将紧致流形上子序半群的迹渐近性质，从 $\psi(\lambda) = \lambda^{\alpha/2}$ 的情形推广至更广泛的 Bernstein 函数类？
• RQ3 对于由 $\psi(-\Delta)$ 生成的子序半群，当 $t \to 0^+$ 时，$\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t)$ 的精确渐近形式为何，其中 $\psi$ 为一般递增的 Bernstein 函数？
• RQ4 拉普拉斯指数 $\psi$ 的逆函数如何影响小时间迹行为？其正规变型性质起到何种作用？

主要发现

• 当 $t \to 0^+$ 时，子序半群 $\mathbf{Q}_t$ 的迹满足 $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})\Gamma\left(\frac{n}{2r}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi\left(\frac{1}{t}\right)^{n/2}$，其中 $\varphi = \psi^{-1}$，且 $\psi$ 为在无穷远处具有指标 $r > 0$ 的正规变型函数。
• 当 $\psi(\lambda) = \lambda^{\alpha/2}$ 时，迹的渐近形式为 $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})\Gamma\left(\frac{n}{\alpha}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot t^{-n/\alpha}$，与 $\alpha$-稳定过程的已知结果一致。
• 当 $\psi$ 为慢变函数（$r=0$）时，迹的渐近行为为 $\mathbf{Tr}(\mathbf{Q}_t) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi\left(\frac{1}{t}\right)^{n/2}$，此时 $\Gamma(\cdot)$ 被替换为 1。
• 作为副产品，得到了对角热核的渐近性质：$q_t(x,x) \sim \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2r}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi\left(\frac{1}{t}\right)^{n/2}$，当 $t \to 0^+$ 时成立。
• 在 $\psi$ 为递增且在无穷远处具有指标 $r > 0$ 的正规变型函数的假设下，结果适用于所有紧致黎曼流形，包括紧致李群。
• 推导依赖于谱计数函数 $N^\psi(\lambda) = N(\varphi(\lambda))$，并得到渐近等价式 $N^\psi(\lambda) \sim \frac{\mathrm{Vol}(\mathbb{M})}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)(4\pi)^{n/2}} \cdot \varphi(\lambda)^{n/2}$，当 $\lambda \to \infty$ 时成立。