[论文解读] Trace decategorification of categorified quantum sl(2)

Anna Beliakova, Kazuo Habiro+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Quantum Information and Cryptography被引用 6

一句话总结

本文提出了对广群化量子群 U*(sl(2)) 的迹范畴化降阶的展示，表明其由满足特定关系的态射 E^{(a)}_{l^a}1_n 生成。关键结果是 Tr(𝒰*) 的一个基，该基因自由阿贝尔群结构及使用分拆上的字典序的基变换公式而变得复杂，从而可直接与 ZU+(sl2[t]) 进行比较。

ABSTRACT

The trace or the $0$th Hochschild--Mitchell homology of a linear category $\mathcal{C}$ may be regarded as a kind of decategorification of $\mathcal{C}$. We compute traces of the two versions $\dot{\mathcal{U}}$ and $\dot{\mathcal{U}}^*$ of categorified quantum $\mathfrak{sl}_2$ introduced by the third author. One version of the trace coincides with the split Grothendieck group $K_0(\dot{\mathcal{U}})$, which is known to be isomorphic to the the integral idempotented form $\dot{\mathbf{U}}(\mathfrak{sl}_2)$ of quantum $\mathfrak{sl}(2)$. The higher Hochschild--Mitchell homology in this case is zero. The trace of the second version is isomorphic to the idempotented integral form of the current algebra $\mathbf{U}(\mathfrak{sl}_2[t])$.

研究动机与目标

• 提供广群化量子群 U*(sl(2)) 的迹范畴化降阶 Tr(𝒰*)+ 的展示。
• 建立 Tr(𝒰*)+(n,m) 的一个基，使其可与已知的 ZU+(sl2[t]) 的基直接比较。
• 关联两个基：一个由分拆 λ ∈ P(a) 索引，另一个由 E^{(ai)}_{li} 的复合构成，其中 l1 > l2 > ... > lp ≥ 0。

提出的方法

• 使用整数分拆上的字典序来比较 Tr(𝒰*)+(n,m) 中的基元素。
• 应用引理 9.6，计算从 E^{(a)}_{ja}E^{(b)}_λ1_n 到 E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n 的基变换中的首项。
• 推导展开式中首项为对 τ < ja∪λ 的字典序求和。
• 通过生成元 E^{(a)}_{l^a}1_n 和关系 (9.3)、(9.4)、(9.7) 证明 (Tr𝒰*)+ 的展示。
• 对 a 和 λ（按字典序）使用归纳法，证明任意 E^{(a)}_λ1_n 均可表示为 E^{(i)}_{li}1_n 复合的 ℤ-线性组合。
• 利用广群化量子群的结构，包括函子 ∧a,b 和结构常数 Nν^{τ,λ}，计算态射的复合。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以显式生成元和关系来展示广群化量子群 U*(sl(2)) 的迹范畴化降阶 Tr(𝒰*)+？
• RQ2 对于整数 n,m，态射空间 Tr(𝒰*)+(n,m) 的结构是什么？如何为其提供一个基？
• RQ3 由分拆 λ ∈ P(a) 索引的基与由 E^{(ai)}_{li} 复合（满足 l1 > l2 > ... > lp ≥ 0）构成的基之间有何关系？
• RQ4 从 E^{(a)}_{ja}E^{(b)}_λ1_n 到 E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n 的基变换中，首项是什么？它如何受字典序控制？
• RQ5 能否证明态射空间 Tr(𝒰*)+(n,m) 是一个自由阿贝尔群，且其基可方便地与 ZU+(sl2[t]) 进行比较？

主要发现

• 当 m - n = 2a 时，Tr(𝒰*)+(n,m) 是一个自由阿贝尔群，其基为 {E^{(a)}_λ1_n | λ ∈ P(a)}。
• 从 E^{(a)}_{ja}E^{(b)}_λ1_n 到 E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n 的基变换中，首项为 E^{(a+b)}_{ja∪λ}1_n，低阶项由 τ < ja∪λ 的字典序索引。
• 态射空间 (Tr𝒰*)+ 由 E^{(a)}_{l^a}1_n（a,l ≥ 0 且 n ∈ ℤ）生成，关系为 (9.3)、(9.4) 和 (9.7)。
• 关系 (9.7) 给出一个二项式系数：E^{(a)}_{l^a}E^{(b)}_{l^b}1_n = (a+b choose a) E^{(a+b)}_{l^{a+b}}1_n。
• 归纳证明表明，任意 E^{(a)}_λ1_n 均可表示为 E^{(i)}_{li}1_n 复合的 ℤ-线性组合，其中 l 递减，且使用分拆的字典序。
• 展开式中的结构常数涉及系数 Nν^{τ,λ} 和函子 ∧a,b，它们控制了广群化设定中张量积的分解。