[论文解读] Trace formulas for Schrödinger operators from the view point of complex analysis

Hiroshi Isozaki, Evgeny Korotyaev|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文利用复分析技术，为具有短程势的三维薛定谔算子推导出新的迹公式。通过分析与预解算子相关的积分算子的修正弗雷德霍姆行列式，作者导出了将势的矩表示为本征值和共振态的迹公式，并建立了与散射相位和狄利克雷积分的联系，为谱不变量提供了严格的解析框架。

ABSTRACT

We consider the Schr{ö}dinger operator $-Δ+V(x)$ in $L^2({\bf R}^3)$ with a real short-range (integrable) potential $V$. Using the associated Fredholm determinant, we present new trace formulas, in particular, the ones in terms of resonances and eigenvalues only. We also derive expressions of the Dirichlet integral, and the scattering phase. The proof is based on the change of view points for the above mentioned problems from the operator theory to the complex analytic (entire) function theory.

研究动机与目标

• 通过复分析方法，为 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 中实值短程势的薛定谔算子推导新的迹公式。
• 将势 $V(x)$ 的矩——特别是 $\int V$、$\int V^2$ 和 $\int (|\nabla V|^2 + 2V^3)$——用本征值和共振态表示。
• 通过贝尔曼-克雷因恒等式，建立修正弗雷德霍姆行列式 $D(k)$ 与散射相位 $\phi_{sc}(k)$ 之间的联系。
• 利用布拉斯凯乘积对发散的行列式 $\det(I + VR_0(k))$ 进行正则化，得到上半平面中行为良好的整函数。
• 提供正则化行列式 $\log D_B(k)$ 的严格渐近展开，其形式为势的矩与共振贡献的组合。

提出的方法

• 在 $k \in \overline{\mathbb{C}_+}$ 上定义修正弗雷德霍姆行列式 $D(k) = \det[(I + Q_0(k))e^{-Q_0(k)}]$，其中 $Q_0(k) = |V|^{1/2} R_0(k^2) \tilde{V}^{1/2}$，$R_0$ 为自由预解算子。
• 引入布拉斯凯乘积 $B(k)$ 以消除对应于束缚态的 $D(k)$ 的零点，得到 $D_B(k) = D(k)/B(k)$，其在 $\mathbb{C}_+$ 中解析且有界。
• 利用复分析工具——特别是当 $|k| \to \infty$ 时 $\log D_B(k)$ 的渐近展开——从洛朗级数的系数中提取出矩 $\alpha_n = \int V^n dx$。
• 对来自 $Q_0^n(k)$ 的迹的振荡积分应用分部积分法与类似驻相法的估计，以保证收敛性与渐近控制。
• 通过贝尔曼-克雷因公式导出的恒等式 $\phi_{sc}(k) = k\alpha_{-1} + \arg D(k)$，将散射相位 $\phi_{sc}(k)$ 与 $\arg D(k)$ 联系起来。
• 利用 $\log D_B(k)$ 在 Hardy 类中的解析性与衰减性质，唯一地刻画正则化行列式，并推导出迹公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从三维薛定谔算子的谱数据（如本征值和共振态）中恢复势 $V(x)$ 的矩？
• RQ2 修正弗雷德霍姆行列式 $D(k)$ 在连接谱数据与势积分方面的确切作用是什么？
• RQ3 在通过布拉斯凯乘积去除零点后，$D(k)$ 的复分析结构如何促成迹公式的推导？
• RQ4 散射相位 $\phi_{sc}(k)$ 以何种方式通过 $D(k)$ 的幅角编码关于势的 $L^1$ 与 $L^2$ 范数的信息？
• RQ5 当 $|k| \to \infty$ 时，$\log D_B(k)$ 的渐近行为如何？其如何导出系数 $\alpha_n$？

主要发现

• 第一个迹公式将势的 $L^1$-范数表示为 $\alpha_{-1} = \frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3} V(x) dx$，由 $\log D(k)$ 的渐近展开导出。
• 第二个迹公式将 $\alpha_0 = \frac{1}{(4\pi)^2} \int_{\mathbb{R}^3} V^2(x) dx$ 表示为 $-i\log D(k)$ 展开中 $k^{-1}$ 项的系数。
• 第三个迹公式通过 $-i\log D(k)$ 中 $k^{-3}$ 项得到 $\alpha_1 = \frac{1}{3(4\pi)^3} \int_{\mathbb{R}^3} (|\nabla V(x)|^2 + 2V^3(x)) dx$。
• 散射相位满足 $\phi_{sc}(k) = k\alpha_{-1} + \arg D(k)$，将相位与势的 $L^1$-范数及行列式幅角联系起来。
• 狄利克雷积分表示为 $\frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla V(x)|^2 dx = \frac{1}{12\pi} \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla V(x)|^2 dx$，由 $Q_0^2(k)$ 的迹在 $k=0$ 处的二阶导数导出。
• 振幅 $\varphi(k) = -\frac{i}{3} \operatorname{Tr} Q_0^3(k)$ 的渐近展开为 $\varphi(k) = -\frac{\alpha_1^0}{k^3} + O(k^{-4})$，其中 $\alpha_1^0 = \frac{2}{3(4\pi)^3} \int V^3(x) dx$，与 $\alpha_1$ 的迹公式一致。