[论文解读] Trace of canonical modules, annihilator of Ext, and classes of rings close to being Gorenstein

Hailong Dao, Toshinori Kobayashi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过广义自对偶模的消去子，建立了对 canonical 模的迹理想的新刻画，特别将其与类 Gorenstein 性质联系起来。引入了弱几乎 Gorenstein 环——在一维情形下推广了几乎 Gorenstein 环——并证明在特定条件下，几乎 Gorenstein 性质在正则序列商下保持不变，从而为类型 2 环提出并部分解决了新的 Tachikawa 猜想版本。

ABSTRACT

In this note we study trace ideals of canonical modules. Characterizations of the trace ideals in terms of annihilators of certain Ext modules are given. We apply our results to study many classes of rings close to being Gorenstein that appear in recent literature. We discuss the behavior of nearly Gorensteinness, introduced by Herzog-Hibi-Stamate, under reductions by regular sequences. A nearly Gorenstein version of the Tachikawa conjecture is posed, and an affirmative answer given for type 2 rings. We also introduce the class of weakly almost Gorenstein rings using the canonical module, and show that they are almost Gorenstein rings in dimension one, and are closely related to Teter rings in the artinian case. We explain their basic properties and give some examples.

研究动机与目标

• 通过广义自对偶模的消去子刻画 canonical 模的迹理想。
• 研究接近 Gorenstein 环的环，特别是几乎 Gorenstein 和弱几乎 Gorenstein 环。
• 研究几乎 Gorenstein 和弱几乎 Gorenstein 性质在正则序列商下的行为。
• 提出并部分解决一个几乎 Gorenstein 版本的 Tachikawa 猜想。
• 探索弱几乎 Gorenstein 环与 Artinian 情形下 Teter 环之间的联系。

提出的方法

• 使用迹理想与消去子技术，在 Cohen–Macaulay 局部环中将广义自对偶模与 canonical 模联系起来。
• 通过 canonical 模的转置，在谱上为 Gorenstein 的情形下推导出新的消去子恒等式。
• 通过涉及 canonical 模与剩余域的正合列，引入弱几乎 Gorenstein 环类。
• 利用伴从与 canonical 对偶的结构，刻画弱几乎 Gorenstein Artinian 环。
• 通过幂级数环关于满足 $\mathfrak{n}I \subseteq J \subseteq I$ 的理想 $J$ 的商构造例子，且 $S/I$ 为 Gorenstein。
• 利用 Burch 理想与 Koszul 同调的结果，在特定情形下验证弱几乎 Gorenstein 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过广义自对偶模的消去子刻画 canonical 模的迹理想？
• RQ2 在何种条件下，几乎 Gorenstein 性质在正则序列商下保持不变？
• RQ3 在一维情形下，弱几乎 Gorenstein 环与几乎 Gorenstein 环之间有何关系？
• RQ4 弱几乎 Gorenstein Artinian 环与 Teter 环及自对偶 canonical 理想之间有何关系？
• RQ5 能否为类型 2 环提出并验证一个几乎 Gorenstein 版本的 Tachikawa 猜想？

主要发现

• 在具有 canonical 模的 Cohen–Macaulay 局部环中，canonical 模的迹理想等于 $\operatorname{Ext}^{>0}_R(\omega, \operatorname{mod}R)$ 和 $\operatorname{Ext}^1_R(\operatorname{CM}(R), R)$ 的消去子。
• 若 $R$ 在去点谱上为 Gorenstein，则 $\operatorname{tr}\omega = \operatorname{ann}\operatorname{Ext}^{d+1}_R(\operatorname{Tr}\omega, R)$，其中 $\operatorname{Tr}\omega$ 是 $\omega$ 的转置。
• Cohen–Macaulay 局部环为几乎 Gorenstein 当且仅当对任意正则序列 $\underline{x}$，有 $R/(\underline{x})$ 为几乎 Gorenstein，或对 $\mathfrak{m}^2$ 中的某个正则序列，或对 $\operatorname{tr}\omega$ 中的某个正则序列成立。
• 在一维情形下，几乎 Gorenstein 环与弱几乎 Gorenstein 环重合，且该性质在 $\mathfrak{m}$ 或 $\mathfrak{m}^2$ 中的正则元商下保持不变。
• 在 Artinian 环中，弱几乎 Gorenstein 等价于 $R/\operatorname{soc}R$ 为 Teter 环，或存在自对偶 canonical 理想的最大理想。
• 许多弱几乎 Gorenstein 环可表示为 $S/J$，其中 $S$ 为幂级数环，$I \subseteq \mathfrak{n}^2$，$S/I$ 为 Gorenstein，且 $\mathfrak{n}I \subseteq J \subseteq I$。