[论文解读] Traces for fractional Sobolev spaces with variable exponents

Leandro Martin del Pezzo, Julio D. Rossi|Americanae (AECID Library)|Apr 9, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 36

一句话总结

本文建立了具有变指数的分数阶 Sobolev 空间上的迹定理，证明了当 $ \frac{(n-1)p(x,x)}{n - s p(x,x)} > q(x) $ 在 $ \partial\Omega \cap \{x : n - s p(x,x) > 0\} $ 上成立时，$ W^{s,p(\bullet,\bullet)}(\bar{\Omega}) $ 中的函数连续且紧嵌入到 $ L^{q(\bullet)}(\pi\Omega) $。该结果通过一种新颖的变指数半范数与范数空间框架，将经典的 Sobolev 迹嵌入推广至变指数、分数阶情形。

ABSTRACT

In this note we prove a trace theorem in fractional spaces with variable exponents. To be more precise, we show that if $p\colon\overlineΩ imes \overlineΩ o (1,\infty)$ and $q:\partial Ω ightarrow (1,\infty)$ are continuous functions such that \[ \frac{(n-1)p(x,x)}{n-sp(x,x)}>q(x) \qquad \mbox{in} \partial Ω\cap \{x\in\overlineΩ\colon n-sp(x,x) >0\}, \] then the inequality $$ \Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{q(\cdot)}(\partial Ω)} \leq C \left\{\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{\bar{p}(\cdot)}(Ω)}+ [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} ight\} $$ holds. Here $\bar{p}(x)=p(x,x)$ and $\lbrack f brack_{s,p(\cdot,\cdot)} $ denotes the fractional seminorm with variable exponent, that is given by \[ \lbrack f brack_{s,p(\cdot,\cdot)} := \inf \left\{λ>0\colon \int_Ω\int_Ω\frac{|f(x)-f(y)|^{p(x,y)}}{λ^{p(x,y)} |x-y|^{n+sp(x,y)}}dxdy<1 ight\} \] and $\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{q(\cdot)}(\partial Ω)}$ and $\Vert f\Vert _{\scriptstyle L^{\bar{p}(\cdot)}(Ω)}$ are the usual Lebesgue norms with variable exponent.

研究动机与目标

• 建立有界光滑区域中具有变指数的分数阶 Sobolev 空间上的迹嵌入定理。
• 将经典的 Sobolev 迹嵌入推广至指数 $ p $ 为 $ \overline{\Omega} \times \overline{\Omega} $ 上连续函数，且边界上的迹空间具有变指数 $ q $ 的情形。
• 证明在临界指数条件下，嵌入 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ 既连续又紧。

提出的方法

• 通过使用具有变指数 $ p(x,y) $ 的非局部半范数，定义变指数分数阶 Sobolev 空间 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $，其表达式为 $ [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} = \inf\left\{ \lambda > 0 : \iint_{\Omega \times \Omega} \frac{|f(x)-f(y)|^{p(x,y)}}{\lambda^{p(x,y)} |x-y|^{n + s p(x,y)}} \, dx\,dy < 1 \right\} $。
• 引入变指数 Lebesgue 范数 $ \|f\|_{L^{\bar{p}(\cdot)}(\Omega)} $ 和 $ \|f\|_{L^{q(\cdot)}(\partial\Omega)} $，其中 $ \bar{p}(x) = p(x,x) $。
• 在条件 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ 成立于 $ \partial\Omega \cap \{x : n - s \bar{p}(x) > 0\} $ 的前提下，建立迹不等式 $ \|f\|_{L^{q(\cdot)}(\partial\Omega)} \leq C \left( \|f\|_{L^{\bar{p}(\cdot)}(\Omega)} + [f]_{s,p(\cdot,\cdot)} \right) $。
• 通过使用单位分解和常数指数分数阶 Sobolev 空间的局部逼近，证明嵌入的紧致性。
• 将结果应用于涉及 $ p(\cdot) $-Laplacian 与 Neumann 型边界条件的变分问题，利用迹嵌入建立泛函的强制性，并证明唯一极小值点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种变指数 $ p(x,y) $ 与 $ q(x) $ 条件下，迹算子可连续映射 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ 到 $ L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $？
• RQ2 在变指数情形下，临界迹指数 $ p^*(x) = \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} $ 与边界指数 $ q(x) $ 之间有何关系？
• RQ3 经典的 Sobolev 迹嵌入结果能否推广至非恒定 $ p(x,y) $ 的分数阶、变指数 Sobolev 空间？
• RQ4 在相同指数条件下，从 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) $ 到 $ L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ 的迹嵌入是否紧致？
• RQ5 该迹结果能否用于证明涉及变指数、非局部算子的边值问题解的存在性？

主要发现

• 当对所有 $ x \in \partial\Omega \cap \{x : n - s \bar{p}(x) > 0\} $ 满足 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ 时，迹嵌入 $ W^{s,p(\cdot,\cdot)}(\Omega) \hookrightarrow L^{q(\cdot)}(\partial\Omega) $ 连续成立，且存在与 $ f $ 无关的常数 $ C = C(n,s,p,q,\Omega) $。
• 该嵌入是紧致的，这使其超越连续性，为变分方法中的应用提供了更强支持。
• 条件 $ \frac{(n-1)\bar{p}(x)}{n - s \bar{p}(x)} > q(x) $ 将经典临界 Sobolev 指数条件推广至变指数、分数阶情形。
• 即使 $ p $ 与 $ q $ 仅为可测函数（而非连续函数），该结果在稍弱条件下仍成立：存在某个 $ \varepsilon > 0 $，使得 $ p^*(x) - \varepsilon > q(x) $。
• 该迹定理被应用于证明一个涉及 $ p(\cdot) $-Laplacian 与 Neumann 型边界项的非局部、变指数泛函的唯一极小值点的存在性与唯一性。
• 通过迹嵌入建立了泛函 $ G(u) $ 的强制性，确保当 $ \|u\|_{s,p(\cdot,\cdot)} \to \infty $ 时 $ G(u) \to \infty $，从而使得变分法的直接法可适用。