[论文解读] Traces of CM values of modular functions and related topics

Jan Hendrik Bruinier|ArXiv.org|Oct 14, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文通过θ提升构造，将Zagier关于模函数CM值的迹理论推广至任意亏格的模曲线。证明了这些迹的生成级数是Γ₀(4)上的权3/2的亚纯模形式，并给出了渐近公式，表明迹可被一个关于约化二次型的和紧密逼近，且误差项在判别式趋于无穷时收敛于-24。

ABSTRACT

The purpose of this note is to report on recent joint work with J. Funke, P. Jenkins, and K. Ono on the traces of CM values of modular functions and some applications.

研究动机与目标

• 将Zagier关于亏格零情形下奇异模迹的结果推广至任意亏格的模曲线。
• 建立θ提升构造，将Γ(1)上的模函数与Γ₀(4)上的权3/2模形式联系起来。
• 推导模函数CM值迹的精确公式与渐近公式。
• 分析这些迹的生成级数在算术与几何上的意义。
• 通过Atkin泛函将迹公式与谱理论及CM点的等分布性联系起来。

提出的方法

• 利用Kudla-Millson的θ核定义一个θ积分，即使在模函数存在极点的情况下也能绝对收敛。
• 将θ提升应用于权0的模函数（例如J(τ) = j(τ) − 744），映射至Γ₀(4)上的权3/2模形式。
• 通过Serre对偶性与Hecke求和，定义权3/2的Poincaré级数，即使它们在经典意义下不收敛。
• 应用Kohnigen投影算子将其限制至正空间，确保与Shimura提升框架相容。
• 利用谱理论与再生核，对Poincaré级数进行解析延拓并计算其傅里叶展开。
• 依赖CM点的等分布性与L-函数的界，推导迹的渐近估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 CM值迹的生成级数能否被描述为Γ₀(4)上权3/2的亚纯模形式？
• RQ2 θ提升构造如何将Zagier原始结果从亏格零模曲线推广至更一般情形？
• RQ3 当判别式D趋于无穷时，CM值迹的渐近行为如何？
• RQ4 迹在多大程度上可被关于约化二次型的和所逼近？
• RQ5 Atkin泛函在正则化模函数在基本域上平均值的过程中起什么作用？

主要发现

• J(τ)的CM值迹的生成级数是Γ₀(4)上权3/2的亚纯模形式，显式表达为g(τ) = η(τ)²E₄(4τ)/(η(2τ)η(4τ)⁶)。
• 迹t_J(D)满足渐近公式t_J(D) = (−1)^D e^{π√D} + O(e^{cπ√D})，对任意c > 1/2，当D → ∞时成立。
• 迹t_J(D)渐近地由虚部大于1的约化二次型之和逼近，其差收敛于−24。
• 极限lim_{D→∞} (1/H(D)) (t_J(D) − ∑_{Q∈Q_D^{red}, Im(α_Q)>1} e(−α_Q)) = −24成立，其中H(D)为类数。
• 该极限即为J(z)在基本域上的正则化平均值，称为Atkin泛函。
• 该结果可推广至所有具有适当修正的弱全纯模函数f ∈ M₀!(Γ(1))。