[论文解读] Traces of functions of bounded A-variation and variational problems with linear growth

Dominic Breit, Lars Diening+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 6

一句话总结

本文引入了针对具有常系数的一阶线性微分算子 $A$ 的有界 $A$-变差函数空间 $BV^A(\Omega)$。证明了当且仅当 $A$ 是 $C$-椭圆型时，$L^1(\partial\Omega)$-迹存在，从而推广了关于 $BV$ 和 $BD$ 空间中已有结果，并将其应用于证明具有线性增长的拟凸变分问题的极小化子的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we consider the space $BV^{A}(\\Omega)$ of functions of bounded $A$-variation. For a given first order linear homogeneous differential operator with constant coefficients $A$, this is the space of $L^1$--functions $u:\\Omega\ ightarrow R^N$ such that the distributional differential expression $A u$ is a finite (vectorial) Radon measure. We show that for Lipschitz domains $\\Omega\\subset R^{n}$, $BV^{A}(\\Omega)$--functions have an $L^1(\\partial\\Omega)$--trace if and only if $A$ is $C$-elliptic (or, equivalently, if the kernel of $A$ is finite dimensional). The existence of an $L^1(\\partial\\Omega)$--trace was previously only known for the special cases that $A u$ coincides either with the full or the symmetric gradient of the function $u$ (and hence covered the special cases $BV$ or $BD$). As an application we study quasiconvex variational functionals with linear growth depending on $A u$ and show the existence of a minimiser in $BV^{A}(\\Omega)$.

研究动机与目标

• 将有界 $A$-变差函数的迹理论从全梯度和对称梯度的特殊情况推广至更一般情形。
• 刻画在 Lipschitz 域上 $BV^A(\Omega)$-函数在 $L^1(\partial\Omega)$-迹存在的条件。
• 在 $BV^A$ 框架下，证明具有线性增长的拟凸变分问题的极小化子的存在性。
• 统一并推广 $BV$ 和 $BD$ 空间中关于迹和极小化子存在性的已知结果。

提出的方法

• 将空间 $BV^A(\Omega)$ 定义为满足 $Au$ 是有限向量值 Radon 测度的 $L^1$-函数 $u: \Omega \to \mathbb{R}^N$ 的集合。
• 利用齐次微分算子理论和 $C$-椭圆型的概念，刻画算子 $A$ 的结构。
• 应用 Lipschitz 边界上的 Radon 测度与迹算子理论，推导出 $L^1(\partial\Omega)$-迹存在的必要与充分条件。
• 在 $BV^A(\Omega)$ 中运用紧致性与下确界半连续性论证，证明具有线性增长的拟凸泛函的极小化子存在性。
• 利用 $C$-椭圆型与 $A$ 的核的有限维性之间的等价性，将分析性质与迹的存在性相联系。
• 利用 $A$-椭圆型的结构，将 $BV$ 和 $BD$ 空间中的已知结果推广至一般 $BV^A$ 框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$BV^A(\Omega)$ 中的函数会存在 $L^1(\partial\Omega)$-迹？
• RQ2 $A$ 的 $C$-椭圆型性质如何与 $BV^A(\Omega)$ 中迹的存在性相关？
• RQ3 能否在 $BV^A$ 空间中建立具有线性增长的拟凸变分问题的极小化子存在性？
• RQ4 经典 $BV$ 和 $BD$ 空间中的结果在多大程度上可推广至更广泛的 $BV^A$ 框架？
• RQ5 $A$ 的核在决定 $BV^A$ 函数迹性质方面起什么作用？

主要发现

• 当且仅当算子 $A$ 是 $C$-椭圆型时，$BV^A(\Omega)$-函数存在 $L^1(\partial\Omega)$-迹。
• $C$-椭圆型等价于 $A$ 的核是有限维的，从而提供了结构性刻画。
• 该迹结果推广了先前关于 $BV$ 和 $BD$ 空间的结果，其中 $Au$ 对应于全梯度或对称梯度。
• 在 $BV^A(\Omega)$ 中，已证明具有线性增长的拟凸变分泛函的极小化子存在。
• 证明依赖于 $BV^A(\Omega)$ 中的紧致性以及泛函在弱*收敛下的下确界半连续性。
• 该框架统一并扩展了关于一般微分算子下有界变差空间的迹理论与极小化子存在性理论。