[论文解读] Traces of intertwining operators and Macdonald's polynomials

Alexander Kirillov|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 1995

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文引入了李代数表示之间互换算子的广义特征标，定义为卡坦子代数元素指数的扭变算子的迹。证明了这些广义特征标可导出类型 A 的麦克唐纳多项式，并通过表示论方法推导其对称性与内积恒等式，同时将其与 WZW 模型中的关联函数及微分方程联系起来，包括椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard 方程。

ABSTRACT

Let $Φ:V o V\otimes U$ be an intertwining operator between representations of a simple Lie algebra (quantum group, affine Lie algebra). We define its generalized character to be the following function on the Cartan subalgebra with values in $U$: $χ_Φ(h)=\Tr_V (Φe^h)$. These generalized characters are a rich source of special functions, possessing many interesting properties; for example, they are common eigenfunctions of a family of commuting differential (difference) operators. We show that the special functions that can be obtained this way include Macdonald's polynomials of type $A$, and this technique allows to prove inner product and symmetry identities for these polynomials (though proved earlier by other methods). Generalized characters for affine Lie algebras are closely related with so-called correlation functions on the torus in the Wess-Zumino-Witten (WZW) model of conformal field theory. We derive differential equations satisfied by these correlation functions (elliptic Knizhnik-Zamolodchikov, or Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equations) and study their monodromies.

研究动机与目标

• 定义并研究作为卡坦子代数上取值于表示空间的迹函数的互换算子的广义特征标。
• 建立一个表示论框架，通过这些广义特征标构造类型 A 的麦克唐纳多项式。
• 推导并分析微分方程——特别是椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard 方程——控制 Wess-Zumino-Witten 模型中的关联函数。
• 利用迹构造方法证明麦克唐纳多项式的内积与对称性恒等式，提供一种新的表示论证明。
• 探讨由仿射李代数表示产生的椭圆 KZB 方程解的单值性性质。

提出的方法

• 将互换算子 Φ: V → V⊗U 的广义特征标定义为 χΦ(h) = TrV(Φ e^h)，其中 h 属于卡坦子代数。
• 利用作用于这些广义特征标的交换微分（或差分）算子族，利用其本征函数性质。
• 通过表示论构造，建立广义特征标与麦克唐纳类型 A 对称多项式之间的对应关系。
• 将仿射李代数表示的广义特征标与 Wess-Zumino-Witten 模型中环面上的关联函数联系起来。
• 将椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard（KZB）方程导出为这些关联函数所满足的微分方程。
• 利用互换算子的结构与表示论方法，分析 KZB 方程解的单值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用互换算子的广义特征标来构造并表征类型 A 的麦克唐纳多项式？
• RQ2 作用于这些广义特征标的微分或差分算子是什么？其谱性质如何？
• RQ3 仿射李代数表示的广义特征标如何与 Wess-Zumino-Witten 模型中的关联函数相关联？
• RQ4 控制环面 WZW 模型中关联函数的微分方程组是什么？其单值性结构如何？
• RQ5 麦克唐纳多项式的内积与对称性恒等式能否从广义特征标的迹构造中推导得出？

主要发现

• 互换算子的广义特征标是交换微分（或差分）算子族的本征函数。
• 麦克唐纳类型 A 的对称多项式自然地作为 sl(n) 表示理论中互换算子的广义特征标出现。
• 通过迹构造方法恢复了麦克唐纳多项式的内积与对称性恒等式，提供了表示论证明。
• Wess-Zumino-Witten 模型在环面上的关联函数满足椭圆 Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard（KZB）方程。
• 椭圆 KZB 方程解的单值性由互换算子的表示论结构决定。
• 本文提出了关于椭圆 KZB 方程的新结果，其范围超出了作者及其合作者先前发表的工作。