[论文解读] Traces of Newton-Sobolev, Hajlasz-Sobolev and BV functions on metric spaces

Panu Lahti, Xining Li+1 more|ArXiv.org|Nov 1, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文证明，在具有加倍测度和Poincaré不等式的度量测度空间中，即使在最小的区域正则性条件下，Newton-Sobolev、Hajłasz-Sobolev和BV函数的迹空间也相同。通过构造保持边界值的更正则函数，证明了这三类函数的迹空间一致，即使在非正则区域和非-Ahlfors正则边界下也成立，将经典结果推广至一般度量设置。

ABSTRACT

We study the boundary traces of Newton-Sobolev, Hajlasz-Sobolev, and BV (bounded variation) functions. Assuming less regularity of the domain than is usually done in the literature, we show that all of these function classes achieve the same "boundary values", which in particular implies that the trace spaces coincide provided that they exist. Many of our results seem to be new even in Euclidean spaces but we work in a more general complete metric space equipped with a doubling measure and supporting a Poincare inequality.

研究动机与目标

• 研究在最小区域正则性条件下的度量测度空间中，BV、Newton-Sobolev和Hajłasz-Sobolev函数的边界迹。
• 确定当迹存在时，是否可以构造出比BV函数更正则的函数，以达到相同的边界值。
• 在相同条件下，建立三类函数迹空间的一致性。
• 将欧几里得空间中的经典迹结果推广至一般度量测度空间，包括非-Ahlfors正则边界。
• 为不规则区域中不同函数类的迹与延拓问题提供统一框架。

提出的方法

• 作者使用BV函数和Newton-Sobolev函数的逼近技术，构造出保持边界行为的更正则函数。
• 在具有加倍测度和(1,1)-Poincaré不等式的度量测度空间中，应用现有的和新的逼近结果。
• 关键方法在于证明逼近函数在以边界点为中心的球上关于$L^q$范数的一致收敛性。
• 构造确保逼近函数$v$满足$\|v - u\|_{L^\infty(\Omega \setminus \Omega(r))} \to 0$当$r \to 0^+$时，从而保持边界值。
• 对于非-Ahlfors正则边界，他们使用 dyadic 范数和加权测度，将迹空间表征为一类Besov型空间$\mathcal{B}^\lambda_1(\mathbb{R})$。
• 他们验证了在给定的几何和测度论假设下，$N^{1,1}(\Omega,\mu)$、$\mathrm{BV}(\Omega,\mu)$和$M^{1,1}(\Omega,\mu)$的迹空间完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有最小区域正则性的度量测度空间中，Newton-Sobolev、Hajłasz-Sobolev和BV函数是否具有相同的迹空间？
• RQ2 即使区域缺乏标准正则性，是否可以构造出比给定BV函数更正则的函数，以达到相同的边界值？
• RQ3 当边界携带非-Ahlfors正则测度时，$N^{1,1}(\Omega,\mu)$和$\mathrm{BV}(\Omega,\mu)$的迹空间是什么？
• RQ4 当测度$\mu$为加权测度（例如Muckenhoupt $A_1$权）时，迹空间如何变化？
• RQ5 是否能用边界上的$L^1$或Besov型范数来表征$M^{1,1}(\Omega,\mu)$的迹空间？

主要发现

• 对任意$u \in \mathrm{BV}(\Omega)$，存在$v \in N^{1,1}(\Omega) \cap \mathrm{Lip}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$，使得对所有$x \in \partial\Omega$，有$\int_{B(x,r)\cap\Omega} |v - u|^{s/(s-1)} \, d\mu \to 0$一致收敛，当$r \to 0^+$，其中$s$为齐次维数。
• 对任意$u \in \mathrm{BV}(\Omega)$和$1 \leq q < \infty$，存在$v \in N^{1,1}(\Omega)$，使得对所有$x \in \partial\Omega$，有$\int_{B(x,r)\cap\Omega} |v - u|^q \, d\mu \to 0$一致收敛，当$r \to 0^+$。
• 对任意$\varepsilon > 0$，存在$v \in \mathrm{SBV}(\Omega)$，满足$\mathcal{H}(S_v) < \varepsilon$，使得$\|v - u\|_{L^\infty(\Omega \setminus \Omega(r))} \to 0$当$r \to 0^+$。
• 在上半平面配备权$w_\lambda(x) = \log^\lambda(\max\{e, e/|x_2|\})$时，$N^{1,1}(\mathbb{R}^2_+, \mu)$的迹空间为Besov型空间$\mathcal{B}^\lambda_1(\mathbb{R})$，该空间也等于$\mathrm{BV}(\mathbb{R}^2_+, \mu)$和$M^{1,1}(\mathbb{R}^2_+, \mu)$的迹空间。
• $\mathrm{BV}(\Omega,\mu)$、$N^{1,1}(\Omega,\mu)$和$M^{1,1}(\Omega,\mu)$的迹空间在欧几里得区域配备Lebesgue测度时与$L^1(\partial\Omega)$一致，从而恢复了经典结果。
• 即使边界测度$\mathcal{H}$既非$\sigma$-有限也非Ahlfors正则，三类函数的迹空间仍保持一致，如加权半平面例子所示。