[论文解读] Traces, Ultrapowers and the Pedersen-Petersen C*-Algebras

Tristan Bice, Ilijas Farah|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文证明，即使原始C*-代数仅有有限多个迹，其超幂上的某些迹也并非原始代数上迹的超极限。关键结果表明，若一个C*-代数具有无穷多个极小迹，则其超幂会存在一个迹，该迹不是原始代数上迹的υ-极限，且此类迹构成大小为$2^{2^{ar{0}}}$的族。这表明在Pedersen-Petersen C*-代数中存在可表示为$n+1$个但非$n$个*-交换子之和的算子，其$n$可任意大，揭示了其深层的结构复杂性。

ABSTRACT

Our motivating question was whether all traces on a U-ultrapower of a C*-algebra A, where U is a non-principal ultrafilter on N, are necessarily U-limits of traces on A. We show that this is false so long as A has infinitely many extremal traces, and even exhibit a 2^c size family of such traces on the ultrapower. For this to fail even when A has finitely many traces implies that A contains operators that can be expressed as sums of n+1 but not n *-commutators, for arbitrarily large n. We show that this happens for a direct sum of Pedersen-Petersen C*-algebras, and analyze some other interesting properties of these C*-algebras.

研究动机与目标

• 研究C*-代数$A$的超幂$A^{\mathcal{U}}$上的所有迹是否都源于$A$上迹的$υ$-极限，动机来自算子代数中的分类问题。
• 确定迹在超幂上非平凡（即非$A$上迹的$υ$-极限）的条件。
• 分析Pedersen-Petersen C*-代数的结构及其在生成超幂上非平凡迹中的作用。
• 探讨C*-代数中交换子结构与迹性质之间的关系，特别是*-交换子与一般自伴交换子之间的区别。

提出的方法

• 通过$\mathbb{N}$上的非主超滤子对C*-代数进行超幂构造，形成$A^{\mathcal{U}}$，利用$l^\infty(A)$和$c_{\mathcal{U}}(A)$的性质。
• 应用迹空间与商空间之间的对偶性，特别是$A^q = A_{\mathrm{sa}}/A_0$，其中$A_0$是*-交换子张成空间的闭包。
• 构造一个具有无穷多个极小迹态的C*-代数$A$，以证明$A^{q\mathcal{U}}$不是自反的，从而推出$A^{*\mathcal{U}} \subsetneq A^{\mathcal{U}*}$。
• 利用自伴迹泛函的Jordan分解及相对交换子代数$A^{\mathcal{U}} \cap A'$的结构，分析迹的扩张。
• 通过在秩-1投影上作用的酉算子$U$和$V$，显式构造$\mathfrak{P}_1$中一个不是*-交换子的自伴交换子。
• 分析$C(S^2, M_2)$的丛结构，并与$U(2)$-丛比较，以证明由不同丛导出的C*-代数不构同。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可分C*-代数$A$，其超幂$A^{\mathcal{U}}$上的每个迹是否都源于$A$上迹的$\mathcal{U}$-极限？
• RQ2 一个仅有有限多个迹的C*-代数是否仍可能拥有非$\mathcal{U}$-极限的超幂迹？
• RQ3 在C*-代数中，是否存在一个自伴交换子不是*-交换子？
• RQ4 $\mathfrak{c}^*(A) \subsetneq \mathfrak{c}(A)_{\mathrm{sa}}$在某个C*-代数$A$中是否可能严格成立？
• RQ5 对于$n \in \mathbb{N}$，包含关系$\mathfrak{c}_n^*(A) \subseteq \mathfrak{c}_n(A)_{\mathrm{sa}} \subseteq \mathfrak{c}_{2n}^*(A)$在某些C*-代数$A$中是否可能严格成立？

主要发现

• 存在一个具有无穷多个极小迹态的C*-代数$A$，使得$A^{\mathcal{U}}$上存在一个迹，该迹不是$A$上迹的$\mathcal{U}$-极限，从而否定了所有超幂迹都是平凡的猜想。
• 此类超幂上非平凡迹的族具有$2^{2^{\aleph_0}}$的基数，表明其迹结构远超平凡极限，具有庞大而复杂的非平凡性。
• 若$A$仅有有限多个迹，但仍存在非平凡迹于$A^{\mathcal{U}}$，则$A$必须包含可表示为$n+1$个但非$n$个*-交换子之和的算子，且$n$可任意大。
• 在Pedersen-Petersen C*-代数$\mathfrak{P}_1$中，存在一个自伴交换子不是*-交换子，表明$\mathfrak{c}^*(\mathfrak{P}_1) \subsetneq \mathfrak{c}(\mathfrak{P}_1)_{\mathrm{sa}}$。
• $\mathfrak{P}_1$不与任何秩-2投影$P$的$PC(S^2, M_2)P$构同，原因在于$U(2)$-丛与$SU(2)$-丛导出的丛不构同。
• $\mathfrak{c}(A)_{\mathrm{sa}} \subseteq \mathfrak{c}^*(A) + \mathfrak{c}^*(A)$的包含关系可能严格成立，如存在不能表示为两个*-交换子之和的自伴交换子所示。