[论文解读] Track Layouts of Graphs

Vida Dujmović, Attila Pór+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2004

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文引入並形式化了軌道佈局作為圖形繪圖的結構模型，為三維圖形繪圖建立了基礎理論。證明了隊列數與軌道數之間存在線性關係，意味著有界隊列數可推出有界軌道數，並為外平面圖與平面圖提供了緊緻的軌道數邊界，包括對平面圖的新下界 7。

ABSTRACT

A \emph{$(k,t)$-track layout} of a graph $G$ consists of a (proper) vertex $t$-colouring of $G$, a total order of each vertex colour class, and a (non-proper) edge $k$-colouring such that between each pair of colour classes no two monochromatic edges cross. This structure has recently arisen in the study of three-dimensional graph drawings. This paper presents the beginnings of a theory of track layouts. First we determine the maximum number of edges in a $(k,t)$-track layout, and show how to colour the edges given fixed linear orderings of the vertex colour classes. We then describe methods for the manipulation of track layouts. For example, we show how to decrease the number of edge colours in a track layout at the expense of increasing the number of tracks, and vice versa. We then study the relationship between track layouts and other models of graph layout, namely stack and queue layouts, and geometric thickness. One of our principle results is that the queue-number and track-number of a graph are tied, in the sense that one is bounded by a function of the other. As corollaries we prove that acyclic chromatic number is bounded by both queue-number and stack-number. Finally we consider track layouts of planar graphs. While it is an open problem whether planar graphs have bounded track-number, we prove bounds on the track-number of outerplanar graphs, and give the best known lower bound on the track-number of planar graphs.

研究动机与目标

• 建立圖形軌道佈局的形式理論，特別是在三維圖形繪圖的背景下。
• 研究軌道佈局與其他圖形佈局模型（包括堆疊與隊列佈局）之間的關係。
• 確定特定圖形族（特別是外平面圖與平面圖）的軌道數的緊緻邊界。
• 探討與識別具有特定軌道佈局性質圖形相關的計算複雜度問題。

提出的方法

• 引入 (k,t)-軌道佈局模型：對頂點進行 t 種著色，每種顏色類別內有全序關係，並對邊進行 k 種著色，且無單色 X-交叉。
• 發展包裝引理，將小跨度的軌道佈局轉換為所需軌道數較少的佈局。
• 建立軌道佈局與隊列佈局之間的雙向轉換，證明隊列數與軌道數之間存在線性關係。
• 利用歸納構造與幾何嵌入，推導外平面圖與平面圖的軌道數邊界。
• 應用極值圖論，確定 (k,t)-軌道佈局中最大邊數。
• 在圖形遞迴構造過程中，利用幾何繪圖中的不變量以維持軌道佈局性質。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 (k,t)-軌道佈局中，最大邊數是多少？
• RQ2 如何操作軌道佈局以在增加軌道數的代價下減少邊的顏色數，反之亦然？
• RQ3 一般圖形中，軌道數與隊列數（或堆疊數）之間的關係為何？
• RQ4 外平面圖與平面圖的軌道數的緊緻邊界為何？
• RQ5 平面圖的軌道數是否被有界，目前已知的最佳下界是多少？

主要发现

• 圖形的隊列數與軌道數之間存在線性關係：軌道數由隊列數的函數有界，反之亦然。
• 圖形的無環著色數由其隊列數與堆疊數共同有界。
• 外平面圖的軌道數至多為 4，且存在一個外平面圖其軌道數恰好為 4。
• 平面圖的軌道數至少為 7，較先前的下界 6 有所提升。
• 存在一個平面圖，其非正規軌道數至少為 7，證明即使非正規軌道佈局的軌道數也無法低於 7。
• 2-軌道圖是貓纜樹的森林，從而完整地描述了 2-軌道圖的性質。