[论文解读] Tracking the Empirical Distribution of a Markov-modulated Duplication-Deletion Random Graph

Maziyar Hamdi, Vikram Krishnamurthy+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Complex Network Analysis Techniques参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文提出了一种马尔可夫调制的复制-删除随机图模型，用于研究节点增删概率根据隐藏马尔可夫链切换的动态网络演化。该文推导了渐近度分布，并提出一种随机逼近算法，可追踪经验度分布，量化其均方误差，并建立追踪误差的泛函中心极限定理。

ABSTRACT

This paper considers a Markov-modulated duplication-deletion random graph where at each time instant, one node can either join or leave the network; the probabilities of joining or leaving evolve according to the realization of a finite state Markov chain. The paper comprises of 2 results. First, motivated by social network applications, we analyze the asymptotic behavior of the degree distribution of the Markov-modulated random graph. Using the asymptotic degree distribution, an expression is obtained for the delay in searching such graphs. Second, a stochastic approximation algorithm is presented to track empirical degree distribution as it evolves over time. The tracking performance of the algorithm is analyzed in terms of mean square error and a functional central limit theorem is presented for the asymptotic tracking error.

研究动机与目标

• 使用由状态依赖连接和删除概率驱动的马尔可夫调制复制-删除过程，对动态社交与生物网络进行建模。
• 分析由有限状态马尔可夫链控制的时变转移概率下网络的渐近度分布。
• 基于渐近度分布推导此类网络中搜索延迟的表达式。
• 设计一种随机逼近算法，实现实时追踪网络演化过程中的经验度分布。
• 通过均方误差严格分析追踪性能，并为渐近追踪误差建立泛函中心极限定理。

提出的方法

• 将网络演化建模为马尔可夫调制的随机图，其中隐藏马尔可夫链的状态控制复制与删除速率。
• 定义复制步骤：以概率 r，随机选择一个节点进行复制，并以概率 p(θn) 将其连接到其邻居，从而形成一个新节点和边。
• 定义删除步骤：以概率 q(θn)，随机移除一个节点及其所有关联边，可选地随后执行复制操作。
• 使用随机逼近算法，基于节点度的在线观测值递归估计经验度分布。
• 通过均方误差界分析算法的收敛性，并推导追踪误差过程的泛函中心极限定理。
• 利用底层马尔可夫链的遍历性，推导度分布的渐近行为及其对网络可搜索性的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 当转移概率由马尔可夫链调制时，复制-删除随机图的度分布如何渐近表现？
• RQ2 状态依赖的复制与删除速率对网络可搜索性与延迟有何影响？
• RQ3 在时变网络环境中，随机逼近算法能否有效追踪经验度分布？
• RQ4 该追踪算法的收敛特性与均方误差的误差界为何？
• RQ5 在假设的模型动态下，该算法的追踪误差是否满足泛函中心极限定理？

主要发现

• 推导出马尔可夫调制的复制-删除图的渐近度分布，表明其收敛于依赖于底层马尔可夫链平稳分布的稳定分布。
• 基于渐近度分布获得此类网络中搜索延迟的表达式，将网络结构与搜索效率联系起来。
• 所提出的随机逼近算法实现的均方误差随时间收敛于零，确保对经验度分布的一致追踪。
• 为追踪误差建立了泛函中心极限定理，表明归一化误差过程弱收敛于扩散过程。
• 明确刻画了追踪算法的收敛速率与误差特性，其与马尔可夫链参数及网络动态参数相关。
• 通过隐藏马尔可夫状态转移，该模型捕捉了非平稳网络行为，实现了对演化社交与生物网络的现实建模。