[论文解读] Tractability of Multi-Parametric Euler and Wiener Integrated Processes

Mikhail Lifshits, Anargyros Papageorgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 13被引用 23

一句话总结

本文建立了多参数伊壁鸠鲁过程与维纳积分过程在平均情形近似中的可 tractability 必要与充分条件，表明当 $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{\ln k} > \frac{1}{2\ln 3}$ 时，伊壁鸠鲁过程具有强多项式可 tractability；而对维纳过程而言，则需满足 $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{k^s} > 0$ 对某个 $s > \frac{1}{2}$。结果揭示了由于两种过程在光滑性与特征值结构上的根本差异，其可 tractability 行为存在本质区别。

ABSTRACT

We study average case approximation of Euler and Wiener integrated processes of d variables which are almost surely r_k-times continuously differentiable with respect to the k-th variable. Let n(h,d) denote the minimal number of continuous linear functionals which is needed to find an algorithm that uses n such functionals and whose average case error improves the average case error of the zero algorithm by a factor h. Strong polynomial tractability means that there are nonnegative numbers C and p such that n(h,d)< C h^{-p} for all d and 0 1/(2\ln 3), whereas it holds for the Wiener case iff liminf r_k/k^s > 0 for some s>1/2. Other types of tractability are also studied.

研究动机与目标

• 确定多变量近似中多参数伊壁鸠鲁与维纳积分过程在平均情形设置下可 tractability 的条件。
• 比较伊壁鸠鲁与维纳过程的可 tractability 行为，尤其在强多项式可 tractability 及其他可 tractability 准则下的表现。
• 分析平滑性参数 $r_k$（定义过程对每个变量的可微性）如何影响信息复杂度 $n(\varepsilon,d)$。
• 建立 $\{r_k\}$ 的必要与充分条件，以实现弱、多项式、强多项式及拟多项式可 tractability。

提出的方法

• 分析在平均情形设置下进行，采用零均值高斯测度，其协方差核分别为伊壁鸠鲁过程与维纳过程的 $K_d^\textrm{\tiny E}$ 与 $K_d^\textrm{\tiny W}$。
• 信息复杂度 $n(\varepsilon,d)$ 定义为将零算法的初始误差降低 $\varepsilon$ 倍所需的最少连续线性泛函数量。
• 研究依赖于协方差算子的谱分析，特别是特征值 $\lambda_{j,r_k}^\textrm{\tiny E}$ 与 $\lambda_{j,r_k}^\textrm{\tiny W}$，以推导 $n(\varepsilon,d)$ 的界。
• 通过特征值衰减速率（特别是 $j \geq 2$ 时 $\lambda_{j,r_k} \sim r_k^{-2}$）及关于 $k$ 的乘积的统一收敛性结果，推导关键不等式与渐近估计。
• 证明使用了可 tractability 理论中的准则，包括涉及 $r_k^{-2\tau}$ 与 $r_k^{-2s}$ 系列收敛性的条件，其中 $\tau \in (3/5,1)$ 且 $s > 1/2$。
• 分析利用了函数值与线性泛函算法之间的已知关系，确保结果适用于两类算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平滑性参数 $\{r_k\}$ 满足何种条件下，伊壁鸠鲁积分过程可实现强多项式可 tractability？
• RQ2 伊壁鸠鲁与维纳积分过程在强多项式可 tractability 要求上存在何种差异？
• RQ3 平滑性参数 $r_k$ 的增长速率在决定两类过程的弱可 tractability 中起何作用？
• RQ4 能否以 $r_k$ 表征维纳过程的拟多项式可 tractability？其与伊壁鸠鲁过程相比如何？
• RQ5 当 $\lim_{k\to\infty} r_k < \infty$ 时，信息复杂度 $n(\varepsilon,d)$ 的行为如何？

主要发现

• 伊壁鸠鲁过程具有强多项式可 tractability 当且仅当 $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{\ln k} > \frac{1}{2\ln 3}$。
• 对于维纳过程，强多项式可 tractability 成立当且仅当 $\liminf_{k\to\infty} \frac{r_k}{k^s} > 0$ 对某个 $s > \frac{1}{2}$。
• 当且仅当 $\lim_{k\to\infty} r_k = \infty$ 时，两类过程均具有弱可 tractability；否则将出现维度灾难。
• 两类过程的多项式与拟多项式可 tractability 由 $r_k^{-2}$ 与 $r_k^{-2\tau}$ 的衰减速率决定，其中 $\tau \in (3/5,1)$。
• 若 $\lim_{k\to\infty} r_k = r < \infty$，则对所有 $\varepsilon \in (0,1)$，$n(\varepsilon,d)$ 随 $d$ 指数增长，表明出现维度灾难。
• 结果表明，由于特征值衰减更慢且可 tractability 所需的光滑性要求更严格，维纳过程在近似上本质上比伊壁鸠鲁过程更困难。