[论文解读] Tractable Fragments of the Maximum Nash Welfare Problem

Jugal Garg, Edin Husić+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2021

Auction Theory and Applications被引用 8

一句话总结

该论文为在具有相同可加估值的非对称代理人之间分配不可分物品时最大化纳什福利问题提出了一个PTAS，推广了先前针对对称代理人的结果。此外，还为数量恒定的非对称代理人提供了FPTAS，并为仅对至多两件物品有价值的代理人设计了多项式时间算法，表明当代理人价值三件或更多物品时，该结果的紧致性。

ABSTRACT

We study the problem of maximizing Nash welfare (MNW) while allocating indivisible goods to asymmetric agents. The Nash welfare of an allocation is the weighted geometric mean of agents' utilities, and the allocation with maximum Nash welfare is known to satisfy several desirable fairness and efficiency properties. However, computing such an MNW allocation is NP-hard, even for two agents with identical, additive valuations. Hence, we aim to identify tractable classes that either admit a PTAS, an FPTAS, or an exact polynomial-time algorithm. To this end, we design a PTAS for finding an MNW allocation for the case of asymmetric agents with identical, additive valuations, thus generalizing a similar result for symmetric agents. Our techniques can also be adapted to give a PTAS for the problem of computing the optimal $p$-mean welfare. We also show that an MNW allocation can be computed exactly in polynomial time for identical agents with $k$-ary valuations when $k$ is a constant, where every agent has at most $k$ different values for the goods. Next, we consider the special case where every agent finds at most two goods valuable, and show that this class admits an efficient algorithm, even for general monotone valuations. In contrast, we note that when agents can value three or more goods, maximizing Nash welfare is NP-hard, even when agents are symmetric and have additive valuations, showing our algorithmic result is essentially tight. Finally, we show that for constantly many asymmetric agents with additive valuations, the MNW problem admits an FPTAS.

研究动机与目标

• 解决非对称代理人最大化纳什福利（MNW）问题的计算复杂性，该问题相较于对称代理人情形研究较少。
• 识别MNW问题中可高效求解的片段，使得可实现多项式时间或完全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 将现有针对具有相同估值的对称代理人所获得的PTAS结果推广至非对称情形。
• 通过识别问题变为NP难的情况（如代理人可价值三件或更多物品）来探究可解性的边界。
• 为特殊估值结构（包括k-值估值和仅对有限数量有价值物品的单调估值）提供高效算法。

提出的方法

• 基于向量缩放和等价类，采用离散化与动态规划方法，为具有相同可加估值的非对称代理人设计PTAS。
• 通过修改效用聚合函数，将该算法适配于p-均值福利最大化的场景。
• 使用Reduce操作维护一个多项式规模的代表性向量集合，通过乘法因子界确保近似保证。
• 通过递归构造具有受控近似比的价值集合，利用纳什福利的几何平均结构。
• 通过关于物品数量的归纳法证明近似比，表明近似集合中的最优解与最优解相差在(1+ε)因子内。
• 通过限制等价类数量及对ε和输入规模的运行时间依赖性，建立常数个非对称代理人的FPTAS。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有相同可加估值的非对称代理人设计PTAS，从而推广对称情形的结果？
• RQ2 当代理人数量为常数时，即使在非对称设置下，MNW问题是否仍存在FPTAS？
• RQ3 当每个代理人最多只对两件物品估值时，MNW问题的计算复杂性如何？是否可在多项式时间内求解？
• RQ4 当代理人可价值三件或更多物品时，问题是否为NP难，即使在对称和可加估值条件下？
• RQ5 可解结果能否推广至其他福利函数，如p-均值福利？

主要发现

• 为具有相同可加估值的非对称代理人设计了PTAS，在任意固定的ε>0下，可在多项式时间内实现(1−ε)近似。
• 该PTAS可扩展至p-均值福利最大化问题，表明该算法框架具有更广泛的应用潜力。
• 针对k-值估值且k为常数的相同代理人，提出了一种精确的多项式时间算法，高效求解MNW问题。
• 针对仅对至多两件物品有价值的单调估值代理人，设计了一种强多项式时间算法，表明在此受限设定下问题具有可解性。
• 当代理人可价值三件或更多物品时，问题变为NP难，即使在对称和可加估值条件下，证明了多项式时间结果的紧致性。
• 为常数个具有可加估值的非对称代理人建立了FPTAS，推广了对称情形下的类似结果。