[论文解读] Tractable Reformulations of Distributionally Robust Two-stage Stochastic Programs with $\infty-$Wasserstein Distance

Weijun Xie|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文通过利用随机参数的二值变量特性和支撑信息，为具有 ∞-Wasserstein 不确定性集的分布鲁棒两阶段随机规划（DRTSP）提供了可处理的凸重述。关键贡献在于，提出了一项充分条件，使得最坏情况下的期望后继成本可通过凸规划高效计算，从而实现稳健、可解释的解，且该解能自然地投影到原始决策空间中，并附加鲁棒性惩罚。

ABSTRACT

In the optimization under uncertainty, decision-makers first select a wait-and-see policy before any realization of uncertainty and then place a here-and-now decision after the uncertainty has been observed. Two-stage stochastic programming is a popular modeling paradigm for the optimization under uncertainty that the decision-makers first specifies a probability distribution, and then seek the best decisions to jointly optimize the deterministic wait-and-see and expected here-and-now costs. In practice, such a probability distribution may not be fully available but is probably observable through an empirical dataset. Therefore, this paper studies distributionally robust two-stage stochastic program (DRTSP) which jointly optimizes the deterministic wait-and-see and worst-case expected here-and-now costs, and the probability distribution comes from a family of distributions which are centered at the empirical distribution using $\infty-$Wasserstein metric. There have been successful developments on deriving tractable approximations of the worst-case expected here-and-now cost in DRTSP. Unfortunately, limited results on exact tractable reformulations of DRTSP. This paper fills this gap by providing sufficient conditions under which the worst-case expected here-and-now cost in DRTSP can be efficiently computed via a tractable convex program. By exploring the properties of binary variables, the developed reformulation techniques are extended to DRTSP with binary random parameters. The main tractable reformulations in this paper are projected into the original decision space and thus can be interpreted as conventional two-stage stochastic programs under discrete support with extra penalty terms enforcing the robustness. These tractable results are further demonstrated to be sharp through complexity analysis.

研究动机与目标

• 解决在 ∞-Wasserstein 不确定性集下，分布鲁棒两阶段随机规划（DRTSP）缺乏精确可处理重述的问题。
• 开发充分条件，使得 DRTSP 中最坏情况下的期望等待与观察成本可通过凸优化高效计算。
• 通过利用二值随机参数的结构特性，将重述框架扩展至具有二值随机参数的 DRTSP。
• 将重述后的鲁棒解投影到原始决策空间，得到具有附加鲁棒性惩罚的可解释模型。
• 通过复杂度分析和数值实验，展示重述方法的紧致性与实际有效性。

提出的方法

• 将 DRTSP 建模为双层优化问题：第一阶段选择此时此地的决策，第二阶段在以经验分布为中心的 ∞-Wasserstein 不确定性集上最小化最坏情况下的期望后继成本。
• 利用 Wasserstein 不确定性集的对偶性，通过 ∞-Wasserstein 距离的对偶表示，将最坏情况期望重述为凸优化问题。
• 利用二值随机参数的结构，推导出保持可处理性和可解释性的专用重述形式。
• 将所得鲁棒重述投影到原始决策空间，得到一个带有额外惩罚项的常规两阶段随机规划，以强化分布鲁棒性。
• 将该重述方法应用于具有随机中断的设施选址问题，使用经验样本定义不确定性集并验证性能。
• 通过复杂度分析表明，所提出的重述是紧致的，即在不损失精确性的情况下无法进一步简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有 ∞-Wasserstein 不确定性集的 DRTSP 中最坏情况下的期望后继成本可被精确重述为可处理的凸规划？
• RQ2 如何利用二值随机参数的结构，将可处理重述扩展至连续不确定性之外的场景？
• RQ3 能否将鲁棒重述投影到原始决策空间，以获得具有明确鲁棒性惩罚的可解释模型？
• RQ4 与标准 SAA 或名义模型相比，随机参数支撑信息的引入如何影响解的保守性和性能？
• RQ5 所提出重述方法的计算复杂度是多少？与现有方法相比，在可处理性和解质量方面表现如何？

主要发现

• 所提出的重述方法在充分条件下，可通过可处理的凸规划精确计算最坏情况下的期望后继成本，填补了 DRTSP 精确可处理重述研究中的空白。
• 对于二值随机参数，通过利用其离散且有界的结构，将重述技术扩展，同时保持可处理性和可解释性。
• 重述后的模型可投影到原始决策空间，并引入惩罚项以强化鲁棒性，使解可解释为带有附加鲁棒性惩罚的常规两阶段随机规划。
• 数值结果表明，随着 Wasserstein 半径 θ 增大，总成本上升；但模型 (30) —— 即所提出的重述方法 —— 在相同 θ 下始终显著低于标准 DRTSP 模型 (12) 的成本，表明其保守性更低。
• 当中断概率 p 从 0.01 增加到 0.05 时，模型 (12) 在 θ > 0 时无法找到可行解，而模型 (30) 仍保持可行并能识别出最优设施位置，展现出更优的鲁棒性。
• 最优 Wasserstein 半径可选择为使总成本超过 SAA 模型 95% 置信区间的最小 θ，其中 p = 0.01 时 θ = 0.02，p = 0.05 时 θ = 0.06，表明采用数据驱动的参数选择策略。