[论文解读] Tractable semi-algebraic approximation using Christoffel-Darboux kernel

Swann Marx, Edouard Pauwels+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2019

Model Reduction and Neural Networks被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的半代数逼近方法，利用Christoffel-Darboux核从函数Young测度的有限个矩中重构有界可测函数——无论是光滑还是不连续的函数。该方法通过多项式优化构建一个全局定义的单一逼近函数，在温和假设下实现几乎处处点态收敛与L¹收敛，并给出明确的收敛速率，同时在经验上避免了不连续情况下的Gibbs现象。

ABSTRACT

We provide a new method to approximate a (possibly discontinuous) function using Christoffel-Darboux kernels. Our knowledge about the unknown multivariate function is in terms of finitely many moments of the Young measure supported on the graph of the function. Such an input is available when approximating weak (or measure-valued) solution of optimal control problems, entropy solutions to non-linear hyperbolic PDEs, or using numerical integration from finitely many evaluations of the function. While most of the existing methods construct a piecewise polynomial approximation, we construct a semi-algebraic approximation whose estimation and evaluation can be performed efficiently. An appealing feature of this method is that it deals with non-smoothness implicitly so that a single scheme can be used to treat smooth or non-smooth functions without any prior knowledge. On the theoretical side, we prove pointwise convergence almost everywhere as well as convergence in the Lebesgue one norm under broad assumptions. Using more restrictive assumptions, we obtain explicit convergence rates. We illustrate our approach on various examples from control and approximation. In particular we observe empirically that our method does not suffer from the the Gibbs phenomenon when approximating discontinuous functions.

研究动机与目标

• 开发一种统一且可计算的逼近方法，仅利用函数Young测度的有限个矩来逼近有界可测函数。
• 解决在无先验知识或分段构造的情况下逼近非光滑或不连续函数的挑战。
• 在广泛假设下，为所提出的逼近方案提供几乎处处点态收敛与L¹范数收敛的保证。
• 在涉及最优控制和双曲型PDE弱解的问题中，展示该方法的鲁棒性与准确性。
• 通过实证表明，该方法在不连续函数逼近中避免了Gibbs现象。

提出的方法

• 该方法使用与函数Young测度矩矩阵相关的正交多项式导出的Christoffel-Darboux核。
• 通过将函数逼近问题转化为支撑集估计问题，构造一个半代数逼近函数，即正多项式最小值的参数。
• 该方法依赖于求解一个凸优化问题（半定规划）来估计函数图像上测度的支撑集。
• 逼近函数被隐式定义为基于矩的优化问题的解，从而实现高效估计与计算。
• 通过正则化稳定矩矩阵并改善数值条件。
• 该方法统一处理光滑与非光滑函数，无需预先分割或分段建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以设计一种单一、全局定义的逼近方案，仅使用矩数据即可同时处理光滑与不连续函数？
• RQ2 所提出的半代数逼近函数在有界变差函数或具有不连续性的函数上的收敛性表现如何？
• RQ3 为何该方法在不连续函数逼近中避免了Gibbs现象？其背后的几何或解析性质是什么？
• RQ4 该方法对矩数据中微小扰动的鲁棒性如何？
• RQ5 该方法能否扩展至仅使用低阶或部分矩信息（如傅里叶系数）？

主要发现

• 在广泛假设下，包括有界变差函数的情况下，该方法实现了几乎处处点态收敛与Lebesgue一范数收敛。
• 在更严格的假设下，论文建立了逼近误差的显式收敛速率。
• 数值实验表明，即使在存在激波的情况下，该方法在逼近不连续函数时也未出现Gibbs现象。
• 当矩数据误差在10⁻⁸量级时，半代数逼近函数在最优控制与PDE问题中与解析解高度吻合。
• 即使矩数据误差达10⁻⁴，该方法仍能准确恢复Burgers方程中的激波传播，表现出强鲁棒性。
• 该方法成功从最优控制与双曲型PDE的矩松弛中重构轨迹与解，在处理不连续性方面优于传统分段多项式方法。