[论文解读] Tractable Subcones and LP-based Algorithms for Testing Copositivity

Akihiro Tanaka, Akiko Yoshise|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文通过使用半定基（SD basis）引入了两个新的、更大的共正锥子集，使得可通过包含 O(n²) 个变量和 O(n²) 个约束的线性规划（LP）进行共正性测试。所提出的子锥体保留了理想的可计算性特性，并展现出改进的数值性能，使其在实际共正性检测中具有广阔前景。

ABSTRACT

The authors in a previous paper devised certain subcones of the copositive cone and showed that one can detect whether a given matrix belongs to each of them by solving linear optimization problems (LPs) with O(n) variables and O(n 2 ) constraints. They also devised LP-based algorithms for testing copositivity using the subcones. In this paper, they investigate the properties of the subcones in more detail and explore better subcones of the copositive cone having desirable properties.They introduce a semidenite basis (SD basis) that is a basis of the space of n n symmetric matrices consisting of n(n + 1)=2 symmetric semidefinite matrices. Using the SD basis, they devise two new subcones for which detection can be done by solving LPs with O(n 2 ) variables and O(n 2 ) constraints. The new subcones are larger than the ones in the previous paper and inherit their nice properties. The authors also examine the efficiency of those subcones in numerical experiments. The results show that the subcones are promising for testing copositivity.

研究动机与目标

• 开发更大且更易处理的共正锥子集，同时保持可通过线性规划（LP）进行测试的性质。
• 通过扩大子集规模并提升其对共正锥的覆盖范围，同时保持计算效率，以超越先前的子集。
• 引入半定基（SD basis）作为结构化工具，用于构建具有优良数学性质的新子锥体。
• 评估新子锥体在测试矩阵共正性方面的数值效率与实际可行性。

提出的方法

• 构建一个半定基（SD basis），由 n(n+1)/2 个对称半定矩阵组成，这些矩阵张成所有 n×n 对称矩阵的空间。
• 利用 SD basis 定义两个新的共正锥子集，其规模大于先前工作中的子集。
• 设计基于线性规划（LP）的算法，用于测试新子集中的成员资格，其变量数和约束数均为 O(n²)。
• 将子集成员资格的检测形式化为线性优化问题，充分利用 SD basis 的结构特性。
• 确保新子锥体继承先前子锥体所具备的优良可计算性与闭包性质。
• 开展数值实验，比较新子锥体与先前方法在性能和覆盖范围方面的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持 LP 可计算性的前提下，构建一个更大、更全面的共正锥子集？
• RQ2 半定基（SD basis）如何实现更优子锥体的构建，从而提升对共正锥的覆盖范围？
• RQ3 测试新子锥体成员资格的计算复杂度是多少？其随矩阵规模 n 的增长如何变化？
• RQ4 新子锥体在数值性能和覆盖范围方面与先前提出的子锥体相比如何？
• RQ5 新子锥体能否在实际中高效实现，以应用于现实世界的共正性测试？

主要发现

• 所提出的子锥体严格大于作者先前工作中引入的子集，对共正锥的覆盖范围有显著提升。
• 新子锥体的成员资格可通过包含 O(n²) 个变量和 O(n²) 个约束的线性规划进行测试，保持了计算上的可处理性。
• 子锥体继承了早期子锥体的优良性质，例如在非负缩放下保持闭包性，以及在特定变换下保持共正性。
• 数值实验表明，新子锥体在共正性测试中高效且有效，展现出实际应用潜力。
• 半定基（SD basis）的使用使得能够系统化、结构化地构建具有增强理论与计算特性的子锥体。