[论文解读] Traffic Congestion in Expanders, $(p,δ)$--Hyperbolic Spaces and Product of Trees

Shi Li, Gabriel H. Tucci|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文引入了$(p,\delta)$--双曲空间，通过仅允许比例为$p$的三角形满足$\delta$--瘦化条件，推广了Gromov双曲性。研究发现，测地线路由的拥塞程度按$\Omega(p^2 n^2 / D_n^2)$增长，构建了一个具有$\Theta(n^2)$拥塞的常数度膨胀图族（与随机正则图的$O(n\log^3 n)$形成对比），并表明树的乘积图中的拥塞程度按$\Theta(n^2 / \log_{d-1}^{k-1} n)$增长。

ABSTRACT

In this paper we define the notion of $(p,δ)$--Gromov hyperbolic space where we relax Gromov's {\it slimness} condition to allow that not all but a positive fraction of all triangles are $δ$--slim. Furthermore, we study maximum vertex congestion under geodesic routing and show that it scales as $Ω(p^2n^2/D_n^2)$ where $D_n$ is the diameter of the graph. We also construct a constant degree family of expanders with congestion $Θ(n^2)$ in contrast with random regular graphs that have congestion $O(n\log^{3}(n))$. Finally, we study traffic congestion on graphs defined as product of trees.

研究动机与目标

• 通过放宽所有三角形必须为$\delta$--瘦化的条件，仅允许比例为$p$的三角形满足瘦化条件，推广Gromov双曲性。
• 分析在非完全双曲但满足松弛双曲性条件的图中，测地线路由下的最大顶点拥塞。
• 构建一个常数度膨胀图族，其拥塞程度为$\Theta(n^2)$，挑战了膨胀图天然具有低拥塞的假设。
• 刻画由正则树的乘积构成的图中的交通拥塞，推导出精确的渐近标度。

提出的方法

• 将$(p,\delta)$--双曲空间定义为：在所有三元组中，至少有比例$p$的三元组构成$\delta$--瘦化的测地线三角形的度量空间。
• 推导最大顶点拥塞的下界：$\Omega(p^2 n^2 / D_n^2)$，其中$D_n$为图的直径。
• 通过递归树结构构造方法，构建一个常数度膨胀图族，控制路径数量并进行拥塞分析。
• 通过递归路径计数与几何级数估计，分析乘积图$T_d^k$中通过中心顶点的交通量。
• 使用数学归纳法与几何级数界控制递归构造中路径数量的增长，证明核心顶点处的总路径数为$O(n)$。
• 利用双曲群到树乘积图的拟等距嵌入，分析此类空间中的拥塞情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅部分双曲的图中，即仅比例为$p$的三角形为$\delta$--瘦化时，交通拥塞如何随图规模变化？
• RQ2 常数度膨胀图是否可能表现出高拥塞，从而与膨胀图具有低拥塞的直觉相矛盾？
• RQ3 由$k$棵度数为$d$的正则树构成的图中，最大顶点拥塞的精确标度为何？
• RQ4 图的直径如何影响$(p,\delta)$--双曲空间中拥塞的下界？

主要发现

• 在$(p,\delta)$--双曲图中，最大顶点拥塞按$\Omega(p^2 n^2 / D_n^2)$增长，表明即使$p$远离零，部分双曲性仍会导致高拥塞。
• 构建了一个常数度膨胀图族，其最大顶点拥塞为$\Theta(n^2)$，证明了在测地线路由下，膨胀图也可能面临高拥塞。
• 随机$d$--正则图的拥塞为$O(n \log^3 n)$，显著低于所构造膨胀图族的$\Theta(n^2)$拥塞。
• 在$k$棵度数为$d$的正则$d$-叉树的乘积图中，最大顶点拥塞按$\Theta(n^2 / \log_{d-1}^{k-1} n)$增长，相比$n^2$有对数级降低。
• 在树乘积结构中，核心顶点承载了$\Omega(n^2)$条最短路径的流量，而此类路径总数被限制在$O(n)$以内，表明流量在中心高度集中。
• 分析证明，对于足够大的$c$，递归构造中通过中心顶点的最短路径数至多为$n/2$，从而推导出拥塞的标度关系。