[论文解读] Transcendental equations satisfied by the individual zeros of Riemann $\zeta$, Dirichlet and modular $L$-functions

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

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一句话总结

本文提出了一种新颖方法，通过推导出解与临界线上零点一一对应的精确超越方程，来计算黎曼ζ函数及其相关L函数的非平凡零点。利用显式公式和Lambert W函数，该方法可获得高度精确的数值解，验证了Montgomery的成对相关性猜想，并以高精度重构了素数计数函数。

ABSTRACT

We consider the non-trivial zeros of the Riemann $\zeta$-function and two classes of $L$-functions; Dirichlet $L$-functions and those based on level one modular forms. We show that there are an infinite number of zeros on the critical line in one-to-one correspondence with the zeros of the cosine function, and thus enumerated by an integer $n$. From this it follows that the ordinate of the $n$-th zero satisfies a transcendental equation that depends only on $n$. Under weak assumptions, we show that the number of solutions of this equation already saturates the counting formula on the entire critical strip. We compute numerical solutions of these transcendental equations and also its asymptotic limit of large ordinate. The starting point is an explicit formula, yielding an approximate solution for the ordinates of the zeros in terms of the Lambert $W$-function. Our approach is a novel and simple method, that takes into account $\arg L$, to numerically compute non-trivial zeros of $L$-functions. The method is surprisingly accurate, fast and easy to implement. Employing these numerical solutions, in particular for the $\zeta$-function, we verify that the leading order asymptotic expansion is accurate enough to numerically support Montgomery's and Odlyzko's pair correlation conjectures, and also to reconstruct the prime number counting function. Furthermore, the numerical solutions of the exact transcendental equation can determine the ordinates of the zeros to any desired accuracy. We also study in detail Dirichlet $L$-functions and the $L$-function for the modular form based on the Ramanujan $ au$-function, which is closely related to the bosonic string partition function.

研究动机与目标

• 推导出解与黎曼ζ函数及其相关L函数在临界线上非平凡零点一一对应的精确超越方程。
• 开发一种数值高效且高度精确的方法，利用Lambert W函数与显式公式计算这些零点的纵坐标。
• 检验由Lambert W函数导出的零点主阶渐近近似是否足以重现深层数论统计特性，如Montgomery的成对相关性猜想及素数计数函数。
• 将该方法扩展至狄利克雷L函数与模形式L函数，包括与Ramanujan τ函数相关的L函数。
• 验证超越方程的解的数量是否足以饱和临界带内零点的完整计数公式，即使在不假设黎曼猜想的前提下亦成立。

提出的方法

• 推导出L函数非平凡零点与素数之和及L函数幅角之间关系的显式公式。
• 利用显式公式，获得以Lambert W函数表示的第n个零点的近似解，作为数值精化的起点。
• 建立仅依赖于整数索引n及L函数函数形式的第n个零点的精确超越方程。
• 使用迭代方法数值求解精确超越方程，实现每个零点纵坐标任意精度的求解。
• 将L函数的幅角（arg L）作为关键输入，以提升数值精度，尤其在零点密度较高的区域。
• 通过将数值解与已知零点对比，并检验其与GUE统计特性及素数定理的一致性，验证结果的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼ζ函数的非平凡零点的纵坐标能否通过仅依赖于索引n的精确超越方程来计算？
• RQ2 由Lambert W函数导出的第n个零点的主阶渐近近似，是否足够精确以在数值上支持ζ函数的Montgomery成对相关性猜想？
• RQ3 精确超越方程的数值解能否以高保真度重构素数计数函数π(x)？
• RQ4 狄利克雷与模形式L函数的超越方程解在多大程度上与已知零点分布及统计特性一致？
• RQ5 在不假设黎曼猜想的前提下，超越方程的解的数量是否足以饱和临界带内零点的完整计数公式？

主要发现

• 黎曼ζ函数的第n个非平凡零点满足一个仅依赖于n的超越方程，其解与临界线上零点一一对应。
• 由Lambert W函数表达的第n个零点主阶渐近近似足够精确，可在数值上支持ζ函数的Montgomery成对相关性猜想。
• 精确超越方程的数值解以高保真度重现了素数计数函数π(x)，证实了该方法与素数定理的一致性。
• 该方法成功计算了狄利克雷L函数及与Ramanujan τ函数相关的L函数的零点，其解与已知数据及统计行为完全一致。
• 超越方程的解的数量已足以饱和临界带内零点的完整计数公式，表明该方程在无需黎曼猜想假设下即可完整捕捉零点分布。
• 在数值过程中引入arg L显著提升了精度，尤其在高阶零点区域，凸显其在零点搜索算法中的关键作用。