[论文解读] Transcendental Morse Inequality and Generalized Okounkov Bodies

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文使用正电流，为紧致凯勒流形上的伪有效 (1,1)-类引入广义奥古诺夫体，将经典的奥古诺夫体构造从代数类推广至超越上同调类。证明了凯勒曲面上大类的体积函数的可微性，并确立了大类的体积等于其广义奥古诺夫体的欧几里得体积，解决了拉扎尔斯费尔德在曲面上提出的问题。

ABSTRACT

The main goal of this article is to construct "arithmetic Okounkov bodies" for an arbitrary pseudo-effective (1,1)-class $α$ on a Kähler manifold. Firstly, using Boucksom's divisorial Zariski decompositions for pseudo-effective (1,1)-classes on compact Kähler manifolds, we prove the differentiability of volumes of big classes for Kähler manifolds on which modified nef cones and nef cones coincide; this includes Kähler surfaces. We then apply our differentiability results to prove Demailly's transcendental Morse inequality for these particular classes of Kähler manifolds. In the second part, we construct the convex body $Δ(α)$ for any big class $α$ with respect to a fixed flag by using positive currents, and prove that this newly defined convex body coincides with the Okounkov body when $α\in { m NS}\_{\mathbb{R}}(X)$; such convex sets $Δ(α)$ will be called generalized Okounkov bodies. As an application we prove that any rational point in the interior of Okounkov bodies is "valuative". Next we give a complete characterisation of generalized Okounkov bodies on surfaces, and show that the generalized Okounkov bodies behave very similarly to original Okounkov bodies. By the differentiability formula, we can relate the standard Euclidean volume of $Δ(α)$ in $\mathbb{R}^2$ to the volume of a big class $α$, as defined by Boucksom; this solves a problem raised by Lazarsfeld in the case of surfaces. Finally, we study the behavior of the generalized Okounkov bodies on the boundary of the big cone, which are characterized by numerical dimension.

研究动机与目标

• 为紧致凯勒流形上的任意伪有效 (1,1)-类构造算术奥古诺夫体。
• 将经典的奥古诺夫体构造从代数类扩展至超越上同调类。
• 证明在修正拟 nef 与 nef 锥重合的凯勒流形上，大类的体积函数具有可微性。
• 在曲面上建立大类的体积与广义奥古诺夫体的欧几里得体积之间的精确对应关系。
• 刻画曲面上的广义奥古诺夫体，并证明其行为类似于经典奥古诺夫体，包括多边形结构和顶点数有界。

提出的方法

• 使用布克斯莫的除子式泽里斯基分解分析紧致凯勒流形上伪有效 (1,1)-类的结构，以研究大类的性质。
• 应用西乌分解与勒隆数，通过正电流定义类似于赋值的函数。
• 将广义奥古诺夫体 Δ(α) 构造为类 α 的多重分量的截面的归一化赋值向量的闭凸包。
• 通过凯勒电流的扰动论证，分析当 ε→0 时 Δ(α+εω) 的极限，从而定义 Δ(α)。
• 利用可微性公式，将 Δ(α) 的标准欧几里得体积与布克斯莫定义的大类 α 的体积联系起来。
• 刻画曲面上 Δ(α) 的形状为由凸函数 f 和凹函数 g 的图像所界定的区域，其中 f ≤ g，其具体形式取决于 α 的数值维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用正电流为紧致凯勒流形上的任意伪有效 (1,1)-类构造广义奥古诺夫体？
• RQ2 凯勒流形上大类的体积是否等于其广义奥古诺夫体的欧几里得体积？
• RQ3 广义奥古诺夫体在大锥边界的行为如何，特别是与数值维数的关系如何？
• RQ4 广义奥古诺夫体内部的所有有理点是否都是赋值的？这一结论能否推广至超越类？
• RQ5 广义奥古诺夫体在紧致凯勒曲面上的精确几何结构是什么？

主要发现

• 凯勒流形上大类 α 的体积等于其广义奥古诺夫体 Δ(α) 的标准欧几里得体积，解决了拉扎尔斯费尔德在曲面情形提出的问题。
• 对于任意大类 α 在紧致凯勒曲面上，Δ(α) 是一个顶点数不超过 2ρ(X)+2 的有限多边形，其中 ρ(X) 为皮卡德数。
• 当 α 是凯勒曲面上的大类时，Δ(α) 由凸函数 f 和凹函数 g 的图像所界定，且满足 f ≤ g。
• 对于大线丛 L，其奥古诺夫体 Δ(L) 内部的任意有理点均为赋值点，该结果将凯夫与科凡斯基的结果推广至超越情形。
• 当曲面上类的数值维数为 0 或 1 时，广义奥古诺夫体 Δ(α) 分别为单点或线段，其由泽里斯基分解负部在曲线上的限制所决定。
• 在修正拟 nef 与 nef 锥重合的凯勒流形上，大类的体积函数具有可微性，包括所有凯勒曲面，该性质使得该设定下 Demailly 的超越 Morse 不等式得证。