[论文解读] Transcendental submanifolds of RP^n

Selman Akbulut, Henry King|ArXiv.org|Apr 26, 2004

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文构造了实射影空间 ℝℙⁿ 的闭光滑子流形，这些子流形同痕于非奇异实射影代数子簇，但无法同痕于 ℂℙⁿ 中非奇异复代数子簇的实部。利用施蒂费尔-惠特尼类与上同调障碍，证明了某些流形——例如特定 m 和 s 下的 ℝℙᵐ×S¹——在 ℝℙⁿ 中存在实代数模型，但由于上同调中的拓扑不相容性，无法提升为光滑复代数模型。

ABSTRACT

In this paper we give examples of closed smooth submanifolds of RP^n which are isotopic to nonsingular projective subvarieties of RP^n but they can not be isotopic to the real parts of nonsingular complex projective subvarieties of CP^n.

研究动机与目标

• 构造 ℝℙⁿ 的光滑子流形，使其同痕于非奇异实射影代数子簇，但无法同痕于 ℂℙⁿ 中非奇异复代数子簇的实部。
• 建立超越射影闭包问题之外的拓扑障碍，以说明为何某些光滑子流形无法实现为复代数集的实部。
• 将早期在仿射情形下构造的超越子流形推广至射影情形，利用上同调不变量。
• 证明某些流形（如 ℝℙᵐ×S¹）由于非零代数上同调类与复化不相容，无法同痕于光滑复代数子簇。

提出的方法

• 利用 ℝℙᵐ 嵌入 ℝ²ᵐ⁻ˢ 的构造（当 m 为偶数时 s≥3，当 m=4k+1 时 s≥5），借助 [MM] 的结果确保此类嵌入的存在性。
• 应用引理 2，将子流形 M=ℝℙᵐ×S¹ 在 ℝℙⁿ 中同痕逼近为 ℝℙⁿ 中的非奇异射影闭代数子簇 V⊂ℝℙⁿ。
• 通过 Larsen [Hr] 的方法应用莱夫谢茨超平面定理，推导出当 i≤s−1 时，Hⁱ(Vℂ;ℤ) ≅ Hⁱ(ℂℙⁿ;ℤ)，从而限制复代数上同调类的像。
• 利用包含限制映射 j*: Hⁱ(ℂℙⁿ;ℤ₂) → Hⁱ(ℝℙⁿ;ℤ₂) 和 j*: Hⁱ(Vℂ;ℤ₂) → Hⁱ(V;ℤ₂) 的交换图，分析 V 和 Vℂ 的 mod 2 上同调，证明当 i≤s−1 时，Ĥℂ−algⁱ(V;ℤ₂)=0。
• 应用 [AK5] 中的定理 1，将 Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂) 与 H²ₐ(V;ℤ₂)² 等同，即代数上同调类的平方。
• 利用实代数集的施蒂费尔-惠特尼类 w₁(V) 和 w₂(V) 为代数类（来自 [AK1]）的事实，证明当 s≥3 或 s≥5 时，w₁²(V)≠0 与 Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)=0 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个同痕于非奇异实射影代数子簇的 ℝℙⁿ 光滑子流形，是否都能同痕于 ℂℙⁿ 中非奇异复代数子簇的实部？
• RQ2 除射影闭包失败外，还有哪些拓扑障碍会阻止 ℝℙⁿ 中的光滑子流形同痕于非奇异复代数子簇的实部？
• RQ3 模 2 上同调中施蒂费尔-惠特尼类及其平方如何与实代数子流形的复代数模型存在性相关联？
• RQ4 在何种维数与嵌入余维条件下，莱夫谢茨超平面定理会限制 ℂℙⁿ 中实代数子流形的代数上同调？
• RQ5 能否将 ℝⁿ 中超越子流形的构造推广至 ℝℙⁿ，同时保持复化障碍的存在性？

主要发现

• 存在闭合光滑子流形 M⊂ℝℙⁿ，其同痕于 ℝℙⁿ 中的非奇异射影代数子簇，但无法同痕于 ℂℙⁿ 中非奇异复代数子簇的实部。
• 当 M=ℝℙᵐ×S¹ 且 m 为偶数、s≥3，或 m=4k+1 且 s≥5 时，子流形 M 同痕于 ℝℙⁿ 中的非奇异射影闭代数子簇 V⊂ℝℙⁿ。
• 当 s≥3（m 为偶数）或 s≥5（m=4k+1）时，mod 2 上同调类 w₁²(V)≠0 与 Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)=0 矛盾，违反了 H²ₐ(V;ℤ₂)²=Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂) 的条件。
• 障碍源于 w₁²(V) 在 H²ₐ(V;ℤ₂)² 中为代数类（由 [AK1]），但 Ĥℂ−alg²(V;ℤ₂)=0 由莱夫谢茨定理与余维 s−1 所导致。
• 该结果推广了早期在仿射情形下的超越子流形例子，表明复化障碍是内在的，而非仅由射影闭包失败引起。
• 该构造对所有偶数 m 且 s≥3，以及所有 m=4k+1 且 s≥5 的情形均成立，由 [MM] 中 ℝℙᵐ↪ℝ²ᵐ⁻ˢ 的嵌入存在性所保证。