[论文解读] Transfer of R-groups between p-adic inner forms of SL_n

Kwangho Choiy, David Theo Goldberg|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文建立了从 $SL_n(F)$ 的内形到分裂群 $SL_n(F)$ 的 Knapp-Stein R-群的转移，其中 $F$ 是一个 $p$-进域。利用广义 Jacquet-Langlands 对应关系和 Plancherel 测度的不变性，证明了内形的 R-群嵌入到分裂形式的 R-群中，且商群同构于导出群的特征标群的子群，并确认 Knapp-Stein R-群同构于 Arthur 的内形 R-群，这与 Arthur 的预测一致。

ABSTRACT

We study the Knapp-Stein $R$--groups for inner forms of the split group $SL_n(F),$ with $F$ a $p$--adic field of characteristic zero. Thus, we consider the groups $SL_m(D),$ with $D$ a central division algebra over $F$ of dimension $d^2,$ and $m=n/d.$ We use the generalized Jacquet-Langlands correspondence and results of the first named author to describe the zeros of Plancherel measures. Combined with a study of the behavior of the stabilizer of representations by elements of the Weyl group we are able to determine the Knapp-Stein $R$--groups in terms of those for $SL_n(F).$ We show the $R$--group for the inner form embeds as a subgroup of the $R$--group for the split form, and we characterize the quotient. We are further able to show the Knapp-Stein $R$--group is isomorphic to the Arthur, or Endoscopic $R$--group as predicted by Arthur. Finally, we give some results on multiplicities and actions of Weyl groups on $L$--packets.

研究动机与目标

• 理解 $SL_n(F)$ 的非分裂内形的 Knapp-Stein R-群结构，其中 $F$ 是特征为零的 $p$-进域。
• 确定 $SL_m(D)$（$D$ 为 $F$ 上的中心除法代数）的内形的 R-群与分裂群 $SL_n(F)$ 的 R-群之间的关系。
• 验证内形的 Knapp-Stein R-群是否同构于 Arthur 的内形 R-群，以确认 Arthur 的猜想。
• 分析 Weyl 群在 $L$-包上的作用，并确定内形的温和地区谱中的重数。

提出的方法

• 利用 $GL_n(F)$ 和 $GL_m(D)$ 的 Levi 子群的 $L$-包之间的广义 Jacquet-Langlands 对应关系，关联内形上的表示。
• 应用第一作者关于 Plancherel 测度零点的结果，证明对应关系下对应于零 Plancherel 测度的根集合保持不变。
• 利用 Weyl 群对表示的作用，刻画 $L$-包中表示 $\sigma$ 的稳定化子 $W(\sigma)$。
• 建立 $W(\sigma^\prime) \subset \bar{W}$，其中 $\bar{W}$ 是保持 $\widetilde{\sigma}^\prime$ 模 $\widetilde{M}^\prime/M^\prime$ 的特征扭的 Weyl 群元素集合，并将其与 R-群结构联系起来。
• 证明内形 $SL_m(D)$ 的 R-群嵌入到 $SL_n(F)$ 的 R-群中，且商群同构于 $X_{M^\prime}(\phi)/X(\sigma^\prime)$ 的子群。
• 利用 $\mu_\beta(\sigma) = \mu_\beta(\sigma^\prime)$ 对所有根 $\beta$ 成立，即 $W^\prime_\sigma = W^\prime_{\sigma^\prime}$，将问题约化为比较稳定化子。

实验结果

研究问题

• RQ1 内形 $SL_m(D)$ 的 Knapp-Stein R-群与分裂群 $SL_n(F)$ 的 R-群之间有何关系？
• RQ2 广义 Jacquet-Langlands 对应关系是否保持定义 R-群的 Plancherel 测度零点？
• RQ3 Knapp-Stein R-群是否同构于 Arthur 的内形 R-群，如 Arthur 的猜想所预测？
• RQ4 内形的 $L$-包上的 Weyl 群作用结构如何？它如何影响重数？
• RQ5 表示在 Weyl 群中的稳定化子如何与 Jacquet-Langlands 对应下其提升的特征扭相关？

主要发现

• 内形 $SL_m(D)$ 的 R-群作为子群嵌入到分裂群 $SL_n(F)$ 的 R-群中，且商群同构于 $X_{M^\prime}(\phi)/X(\sigma^\prime)$ 的子群。
• 内形上表示 $\sigma^\prime$ 的稳定化子 $W(\sigma^\prime)$ 对应于满足 ${}^w\widetilde{\sigma}^\prime \simeq \widetilde{\sigma}^\prime \otimes \eta$ 的 Weyl 群元素 $w$，其中 $\eta \in (\widetilde{M}^\prime/M^\prime)^D$，从而与 R-群结构建立了精确联系。
• Plancherel 测度零点在广义 Jacquet-Langlands 对应关系下保持不变，因此 $W^\prime_\sigma = W^\prime_{\sigma^\prime}$，这使得 R-群比较问题约化为比较 $W(\sigma)$ 与 $W(\sigma^\prime)$。
• 内形的 Knapp-Stein R-群同构于 Arthur 的内形 R-群，确认了在此情形下 Arthur 的预测。
• 当 $L$-包 $\Pi_\phi(M^\prime)$ 为单元素集时，分裂群与内形上对应表示的 R-群同构：$R_\sigma = R_{\sigma^\prime}$。
• Weyl 群在 $L$-包上的作用由 Langlands 参数的特征扭控制，且 $R$-群的结构通过商群 $\bar{W}/W(\sigma^\prime)$ 反映出这种作用。