[论文解读] Transfer of Siegel cusp forms of degree 2

Ameya Pitale, Abhishek Saha+1 more|Bristol Research (University of Bristol)|Jun 28, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 76被引用 30

一句话总结

本文通過積分表示與下拉公式，建立了二度全水平Siegel尖點形式到GL₄與GL₅的函子性，證明其L-函數整且滿足標準函數方程。關鍵結果為GSp₄ × GL₂ L-函數的逆定理，進而導出臨界值公式，並為Böcherer關於中心L-值的猜想提供證據，其以傅里葉係數表達。

ABSTRACT

Let $π$ be the automorphic representation of $\GSp_4(\A)$ generated by a full level cuspidal Siegel eigenform that is not a Saito-Kurokawa lift, and $τ$ be an arbitrary cuspidal, automorphic representation of $\GL_2(\A)$. Using Furusawa's integral representation for $\GSp_4 imes\GL_2$ combined with a pullback formula involving the unitary group $\GU(3,3)$, we prove that the $L$-functions $L(s,π imesτ)$ are "nice". The converse theorem of Cogdell and Piatetski-Shapiro then implies that such representations $π$ have a functorial lifting to a cuspidal representation of $\GL_4(\A)$. Combined with the exterior-square lifting of Kim, this also leads to a functorial lifting of $π$ to a cuspidal representation of $\GL_5(\A)$. As an application, we obtain analytic properties of various $L$-functions related to full level Siegel cusp forms. We also obtain special value results for $\GSp_4 imes\GL_1$ and $\GSp_4 imes\GL_2$.

研究动机与目标

• 建立全水平二度Siegel尖點形式的自動表示到GL₄(𝔸)與GL₅(𝔸)的函子提升。
• 證明GSp₄上的π與GL₂上的τ的標準L-函數L(s, π × τ)為整函數且滿足標準函數方程。
• 根據有理不變量與傅里葉係數，推導L(s, π × τ)的顯式臨界值公式。
• 為Böcherer關於GSp₄ × GL₂ L-函數中心L-值的猜想提供證據。

提出的方法

• 使用Furusawa的GSp₄ × GL₂積分表示，將L-函數與自動形式周期關聯。
• 透過酉群GU(3,3)的下拉公式，將GSp₄ × GL₂積分轉化為GL₄ × GL₂積分。
• 運用Siegel-Weil公式與Weil表示，證明L-函數的整性。
• 利用Cogdell與Piatetski-Shapiro的逆定理，從L-函數的解析性質推導函子性。
• 應用近乎全純模形式理論與Garrett與Harris的結果，計算特殊值。
• 透過全域積分表示，建立特殊值週期的有理性與Galois相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於二度尖點Siegel特徵形式π與GL₂上的尖點自動表示τ，標準L-函數L(s, π × τ)是否具有梅留莫爾延拓與函數方程？
• RQ2 是否可應用逆定理，從L-函數的解析性質推導π到GL₄(𝔸)的函子提升？
• RQ3 L(s, π × τ)在臨界點的特殊值具有何種有理性與Galois相容性性質？
• RQ4 L(s, π × τ)的臨界值如何與Siegel尖點形式F的傅里葉係數相關？
• RQ5 所構造的積分表示是否為Böcherer關於中心L-值的猜想提供證據？

主要发现

• L-函數L(s, π × τ)為整函數且滿足標準函數方程，證明其對所有GL₂上的尖點τ皆具備『良好性質』。
• Cogdell與Piatetski-Shapiro的逆定理表明π函子性地提升至GL₄(𝔸)的尖點表示。
• 結合Kim的外平方提升，π亦存在函子性提升至GL₅(𝔸)的尖點表示。
• 特殊值A(F, g; k)屬於ℚ(F, g, χ)且在Galois自同構下不變，證明其有理性與Galois相容性。
• L(ℓ/2 − k, π × π_g)的臨界值公式以Petersson內積與傅里葉係數表示，並確立其有理性。
• 推論5.3.5透過顯示不同二次扭轉的中心L-值由ℚ(F)中的元素關聯，為Böcherer猜想提供證據。