[论文解读] Transfer operators and Hankel transforms between relative trace formulas

Yiannis Sakellaridis|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用 1

一句话总结

本文引入了相对迹公式（RTFs）之间的阿贝尔转移算子，其推广了内播射标量转移因子，使得可通过泊松求和公式实现全局比较。研究证明，这些算子——由哈克尔变换控制且具有阿贝尔结构——在非阿贝尔调和分析中实现了函子性，尤其通过显式哈克尔算子将库兹涅茨公式与对称平方L函数联系起来。

ABSTRACT

The Langlands functoriality conjecture, as reformulated in the beyond endoscopy program, predicts comparisons between the (stable) trace formulas of different groups $G_1, G_2$ for every morphism ${^LG}_1 o {^LG}_2$ between their $L$-groups. This conjecture can be seen as a special case of a more general conjecture, which replaces reductive groups by spherical varieties and the trace formula by its generalization, the relative trace formula (RTF). The goal of this article is to demonstrate, by example, the existence of betweeen RTFs, that generalize the scalar transfer factors of endoscopy. These transfer operators have all properties that one could expect from a trace formula comparison: matching, fundamental lemma for the Hecke algebra, transfer of (relative) characters. Most importantly, and quite surprisingly, they appear to be of abelian nature, even though they encompass functoriality relations of non-abelian harmonic analysis. Thus, they are amenable to application of the Poisson summation formula in order to perform the global comparison. Moreover, we show that these abelian transforms have some structure as deformations of well-understood operators when the spaces under consideration are replaced by their asymptotic cones. In the article, we develop the local theory behind Rudnick's 1990 thesis (comparing the stable trace formula for $SL_2$ with the Kuznetsov formula) and Venkatesh's 2002 thesis (providing a beyond endoscopy proof of functorial transfer from tori to $GL_2$). As it turns out, the latter is not completely disjoint from endoscopic transfer. We also study the functional equation of the symmetric-square $L$-function for $GL_2$, and show that it is governed by an explicit Hankel operator at the level of the Kuznetsov formula, which is also of abelian nature. Most of our proofs rely on Rankin--Selberg theory.

研究动机与目标

• 建立一个通过推广内播射转移因子的转移算子比较相对迹公式（RTFs）的一般框架。
• 证明尽管编码了非阿贝尔函子性关系，这些转移算子本质上仍为阿贝尔结构。
• 在超越内播射计划的框架内，统一并扩展鲁丁尼克（1990）与滕卡特斯库（2002）的局部理论。
• 表明GL₂的对称平方L函数的函数方程在库兹涅茨公式的层面上由一个哈克尔算子控制。
• 提供一个系统化的局部理论，支持通过Rankin–Selberg方法实现全局比较。

提出的方法

• 发展了RTFs之间转移算子的局部理论，将内播射框架扩展至球对称空间。
• 利用Rankin–Selberg理论推导并验证转移算子的性质，包括Hecke代数的匹配性、基本引理。
• 应用泊松求和公式进行全局比较，利用转移算子的阿贝尔性质。
• 分析底层空间的渐近锥，以理解已知算子的形变。
• 识别出对称平方L函数的函数方程源于作用于库兹涅茨公式的显式哈克尔算子。
• 通过显式转移机制建立SL₂的RTF与库兹涅茨公式之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在相对迹公式之间构造转移算子以推广内播射转移？
• RQ2 这些转移算子具有何种结构性质，特别是与阿贝尔与非阿贝尔调和分析的关系？
• RQ3 超越内播射计划在多大程度上统一了鲁丁尼克与滕卡特斯库的局部理论？
• RQ4 GL₂的对称平方L函数的函数方程如何编码于库兹涅茨公式中？
• RQ5 泊松求和公式能否通过阿贝尔转移算子有效应用于全局比较？

主要发现

• 相对迹公式之间的转移算子本质上为阿贝尔结构，使得可利用泊松求和公式实现全局比较。
• 这些算子推广了内播射中的标量转移因子，并满足匹配性、基本引理及特征转移等性质。
• GL₂的对称平方L函数的函数方程在库兹涅茨公式的层面上由显式哈克尔算子控制。
• 该局部理论统一并扩展了鲁丁尼克（1990）与滕卡特斯库（2002）的结果，表明其与内播射转移不相交。
• 转移算子的形变对应于底层球对称空间渐近锥上的结构。
• Rankin–Selberg理论为推导和验证转移算子的关键性质提供了基础框架。