[论文解读] Transformation Digroups

Keqin Liu|ArXiv.org|Sep 16, 2004

Fuzzy and Soft Set Theory被引用 4

一句话总结

本文引入了变换双群（transformation digroup）的概念，证明了每个双群都同构于在集合笛卡尔积上定义的对称双群的子双群。通过使用非双射变换构造忠实表示，作者建立了双群的Cayley型定理，证明任何双群的代数结构都可以通过集合上的变换运算实现。

ABSTRACT

We introduce the notion of a transformation digroup and prove that every digroup is isomorphic to a transformation digroup.

研究动机与目标

• 在两个集合的笛卡尔积上定义变换双群，作为非双射变换的结构。
• 证明每个双群都可以嵌入到一个对称双群中，将Cayley定理推广至双群的语境。
• 通过变换运算提供双群的表示定理，确保结构同构。
• 阐明bar-单位（bar-units）和单边逆元在构造变换双群中的作用。

提出的方法

• 在笛卡尔积 Δ × Γ 上，通过源自变换的左乘和右乘运算，定义变换双群。
• 构造一个从双群 G 到 Δ × Γ 上对称双群的映射 λ，使用 bar-单位和左乘映射。
• 证明映射 λ 是良定义的、单射的，并且保持左乘和右乘运算。
• 利用双结合律（diassociative law）和 bar-单位的性质，确保变换之间的一致性。
• 证明 λ 的像构成一个与原始双群 G 同构的子双群。
• 利用相对于 bar-单位的左逆和右逆的唯一性，维持表示中的代数完整性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个双群是否都能通过忠实同态表示为一个变换双群？
• RQ2 如何组织笛卡尔积上的非双射变换，使其构成一个对称双群？
• RQ3 bar-单位在定义双群的变换表示中起什么作用？
• RQ4 是否存在一个类似Cayley的同构定理，适用于双群，类似于经典群的情形？
• RQ5 双群中的左乘和右乘如何对应于集合上的变换运算？

主要发现

• 每个双群都同构于一个对称双群的子双群，从而为双群建立了表示定理。
• 变换双群的构造使用了 Δ × Γ 上的非双射映射，推广了置换群的概念。
• 映射 λ 是单射的，并且保持左乘和右乘运算，确保了代数保真性。
• 该表示与 bar-单位的选择无关，因为左逆和右逆在 bar-单位改变时保持不变。
• 当 |Δ| = 1 时，对称双群退化为 Γ 上的对称群，显示出与经典群论的一致性。
• 该构造通过变换运算完整实现了双群的结构，实现了类似Cayley的嵌入。