[论文解读] Transformation of the linear difference equation into a system of the first order difference equations

M. I. Ayzatsky|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

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一句话总结

本文提出了一种新颖的变换方法，可将N阶线性差分方程转化为等价的一阶差分方程组。该方法 enables 新的解析形式，包括类似于Riccati方程的非线性二阶方程（适用于三阶情形），并可对缓慢变化的系数实施WKB近似。

ABSTRACT

The transformation of the Nth- order linear difference equation into a system of the first order difference equations is presented. The proposed transformation gives possibility to get new forms of the N-dimensional system of the first order equations that can be useful for analysis of the solutions of the Nth- order difference equations. In particular, for the third-order linear difference equation the nonlinear second-order difference equation that plays the same role as the Riccati equation for second-order linear difference equation is obtained. The new form of the N-dimensional system of first order equations can be also used for finding the WKB solutions of the linear difference equation with coefficients that vary sufficiently slowly with index.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，将高阶线性差分方程转换为一阶方程组。
• 探索由此产生的一阶系统的新解析形式，以简化解的分析。
• 将WKB方法的应用范围扩展至具有缓慢变化系数的线性差分方程。
• 推导出一个类似于Riccati方程的非线性二阶差分方程，适用于三阶线性方程。
• 为通过一阶系统形式研究N阶线性差分方程的解提供一个框架。

提出的方法

• 该变换使用变量替换，将N阶差分方程表示为N个一阶差分方程的系统。
• 该方法引入辅助变量以表示原序列的连续差分。
• 所得系统以矩阵形式表示，便于应用标准线性代数技术进行分析。
• 对于三阶方程，通过消去变量，该方法可导出一个非线性二阶差分方程。
• 通过使用WKB型渐近近似，将该方法扩展至分析系数缓慢变化的情形。
• 该变换保持原方程的解空间不变，同时启用新的解析工具。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地将N阶线性差分方程转换为一阶方程组？
• RQ2 该变换会产生哪些新的解析形式，特别是针对三阶方程？
• RQ3 该变换是否能导出一个类似于Riccati方程的非线性二阶差分方程？
• RQ4 变换后的系统能否支持对缓慢变化系数的WKB近似方法？
• RQ5 与原始高阶方程相比，一阶系统表示在结构和分析上具有哪些优势？

主要发现

• 该变换成功地将任意N阶线性差分方程转换为等价的N个一阶差分方程组成的系统。
• 对于三阶线性差分方程，该方法导出一个非线性二阶差分方程，其作用类似于Riccati方程。
• 所得一阶系统允许将WKB近似技术应用于具有缓慢变化系数的方程。
• 该变换保持了解空间的等价性，确保原系统与变换后系统解的一致性。
• 新系统形式为分析稳定性、渐近行为及解结构提供了替代路径。
• 该方法为将一阶系统的技术系统性地推广至高阶线性差分方程提供了框架。