[论文解读] Transformation Semigroups with the Deformed Multiplication

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|Aug 20, 2005

semigroups and automata theory参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文对通过 Ljapin 的变形乘法 x *ₐ y = xay 作用于三个基本变换半群所得的成对非同构半群进行了分类：有限反称对称半群 𝒮ₙ、有限对称半群 𝒯ₙ 和双循环半群 ℬ。关键结果为：同构类型完全由 𝒮ₙ 的秩（rank）、𝒯ₙ 的变换类型（transformation type）以及 ℬ 的元素参数决定；其中，从 ℬ 经变形可产生无穷多个非同构半群。

ABSTRACT

Pairwise non-isomorphic semigroups obtained from the finite inverse symmetric semigroup $\mathcal{IS}_n ,$ finite symmetric semigroup $\mathcal{T}_n$ and bicyclic semigroup by the deformed multiplication proposed by Ljapin are classified.

研究动机与目标

• 对通过 Ljapin 的变形乘法 x *ₐ y = xay 作用于有限反称对称半群 𝒮ₙ 所形成的全部成对非同构半群进行分类。
• 将该分类结果扩展至有限对称半群 𝒯ₙ，使用相同的变形乘法。
• 分析并分类由双循环半群 ℬ 经变形乘法所得的半群，建立同构与反同构的条件。

提出的方法

• 对于 𝒮ₙ，证明了 (𝒮ₙ, *ₐ) 中的幂等元数量为 2^rank(α)，从而建立了幂等元与 ran(α) 的子集之间的一一对应关系。
• 对于 𝒮ₙ，当 rank(α) = rank(β) 时，通过构造置换 τ 和 π 满足 β = ταπ，显式构造出 (𝒮ₙ, *ₐ) 与 (𝒮ₙ, *ᵦ) 之间的同构映射 f(ξ) = π⁻¹ξτ⁻¹。
• 对于 𝒯ₙ，证明了 (𝒯ₙ, *ₐ) 的同构类型仅取决于变换 a 的类型，该类型由预像大小的多重集 (α₁, ..., αₙ) 定义。
• 对于 ℬ，通过分析 εᵢ = b^{k+i}a^{m+i} 的结构，表明其构成一个线性有序集，且 ε₀ 为最大幂等元。
• 计算交集 Pᵢ^α ∩ Qᵢ^α 的基数为 (k+i)(m+i)，该值唯一确定了 α = b^m a^k 的参数 k 和 m。
• 对于反同构，证明映射 φ(b^x a^y) = b^y a^x 构成 (ℬ, *ₐ) 与 (ℬ, *ᵦ) 之间的反同构，当且仅当 α 与 β 在 ℬ 中互为逆元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在变形乘法下，何时两个半群 (𝒮ₙ, *ₐ) 与 (𝒮ₙ, *ᵦ) 同构？
• RQ2 在 (𝒯ₙ, *ₐ) 中，何种变换类型不变量决定了同构性？
• RQ3 何时两个变形双循环半群 (ℬ, *ₐ) 与 (ℬ, *ᵦ) 同构或反同构？
• RQ4 能否从变形半群 (ℬ, *ₐ) 的结构重构出 ℬ 中 α = b^m a^k 的参数？
• RQ5 变形乘法如何影响这些半群中的幂等元结构与 Green 关系？

主要发现

• 当且仅当 rank(α) = rank(β) 时，(𝒮ₙ, *ₐ) 与 (𝒮ₙ, *ᵦ) 同构，由此从 𝒮ₙ 可得到恰好 (n+1) 个成对非同构的半群。
• 对于 𝒯ₙ，(𝒯ₙ, *ₐ) 与 (𝒯ₙ, *ᵦ) 同构当且仅当 a 与 b 具有相同的变换类型，即其预像大小的计数相同。
• 在双循环半群 ℬ 中，变形半群 (ℬ, *ₐ) 有无穷多个非同构的实现，每个对应于 α = b^m a^k 中不同的参数对 (m,k)。
• 交集 |Pᵢ^α ∩ Qᵢ^α| = (k+i)(m+i) 唯一确定了 α = b^m a^k 的参数 k 和 m，从而证明同构蕴含 α = β。
• (ℬ, *ₐ) 与 (ℬ, *ᵦ) 反同构当且仅当 β 是 α 在 ℬ 中的逆元，即当 α = b^m a^k 时，β = b^k a^m。
• (ℬ, *ₐ) 中的幂等元集合按 εᵢ ≤ εⱼ 当且仅当 i ≥ j 的规则线性排序，且 ε₀ = b^k a^m 为唯一的最大幂等元。