[论文解读] Transformations between attractors of hyperbolic iterated function systems

Michael F. Barnsley|ArXiv.org|Mar 14, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过码空间结构与分形顶端（fractal tops）引入双曲迭代函数系（IFSs）吸引子之间的分形变换。证明当一个IFS的码空间包含于另一个时，存在一个连续变换将第一个吸引子映射到第二个；当码空间完全相同时，该变换为同胚，表明同胚的IFS吸引子具有相同的拓扑熵。

ABSTRACT

This paper is in the form of an essay. It defines fractal tops and code space structures associated with set-attractors of hyperbolic iterated function systems (IFSs). The fractal top of an IFS is associated with a certain shift invariant subspace of code space, whence the entropy of the IFS, and of its set-attractor, may be defined. Given any ordered pair of hyperbolic IFSs, each with the same number of maps, there is a natural transformation, constructed with the aid of fractal tops, whose domain is the attractor A of the first IFS and whose range is contained in the attractor B of the second IFS. This transformation is continuous when the code space structure of the IFS is "contained in" the code space structure of the second IFS, and is a homeomorphism between A and B when the code space structures are the same. Conversely, if two IFS are homeomorphic then they possess the same code space structure. Hence we obtain that two IFS attractors are homeomorphic then they have the same entropy. Several examples of fractal transformations and fractal homeomphisms are given.

研究动机与目标

• 通过分形顶端与码空间不变性，定义双曲IFS吸引子之间的自然变换。
• 建立此类变换为连续或同胚的条件。
• 将IFS吸引子的拓扑熵与底层码空间结构联系起来。
• 通过码空间上的移位动力系统，为拓扑熵提供几何解释。
• 证明同胚的IFS吸引子必须具有相同的码空间结构，从而具有相等的熵。

提出的方法

• 将码空间 Ω 定义为 N 个符号字母表上的无限序列集合，配备度量 dΩ(σ,ω) = 2−k，其中 k 为首个不同的索引位置。
• 引入分形顶端作为码空间的移位不变子集，定义顶端函数 τF: AF → ΩF。
• 构造变换 TF: AF → AF 为地址函数与码空间上移位映射复合的逆函数。
• 利用地址函数 φF: ΩF → AF 将码序列映射到吸引子中的点，确保其连续性与满射性。
• 证明若 ΩF ⊆ ΩG，则从 AF 到 AG 的变换是连续的；若 ΩF = ΩG，则该变换为同胚。
• 证明在同胚下，IFS的拓扑熵保持不变，从而将熵与码空间结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个双曲IFS吸引子之间存在连续变换？
• RQ2 在何种条件下，此类变换为IFS吸引子之间的同胚？
• RQ3 IFS吸引子的拓扑熵如何与其码空间结构相关？
• RQ4 能否仅利用码空间的组合结构构造分形变换？
• RQ5 码空间不变性与IFS吸引子的拓扑熵之间存在何种关系？

主要发现

• 当第一个IFS的码空间包含于第二个时，从第一个IFS吸引子 A₁ 到第二个IFS吸引子 A₂ 存在连续变换。
• 当两个IFS的码空间结构相同时，其吸引子之间的诱导变换为同胚。
• 同胚的IFS吸引子必须具有完全相同的码空间结构，这意味着拓扑熵在同胚下是不变量。
• IFS吸引子的拓扑熵可定义为对应码空间上移位动力系统熵的下确界。
• 分形顶端函数 τF 为地址函数 φF 提供了连续的逆，从而可构造与码空间上移位映射共轭的动力系统。
• 当顶端函数 τF 连续时，IFS吸引子的拓扑熵等于其码空间上移位映射的熵，从而建立了基于几何的熵定义。