[论文解读] Transformations birationnelles de petit degré

Dominique Cerveau, Julie Déserti|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 19

一句话总结

本文研究复射影平面上的小次数双有理映射，特别是二次映射，建立了其代数与动力性质，如一般二次映射生成自由群、完整双有理群的完美性，以及通过例外曲线配置对三次映射进行分类。此外，还探讨了共轭不变量、不变对象，以及实系数二次映射的轨道与类朱利亚集的可视化。

ABSTRACT

Since the end of the XIXth century, we know that each birational map of the complex projective plane is the product of a finite number of quadratic birational maps of the projective plane; this motivates our work which essentially deals with these quadratic maps. We establish algebraic properties such as the classification of one parameter groups of quadratic birational maps or the smoothness of the set of quadratic birational maps in the set of rational maps. We prove that a finite number of generic quadratic birational maps generates a free group. We show that if f is a quadratic birational map or an automorphism of the projective plane, the normal subgroup generated by f is the full group of birational maps of the projective plane, which implies that this group is perfect. We study some dynamical properties: following an idea of Guillot, we translate some invariants for foliations in our context, in particular we obtain that if two generic quadratic birational maps are birationally conjugated, then they are conjugated by an automorphism of the projective plane. We are also interested in the presence of "invariant objects": curves, foliations, fibrations. Then follows a more experimental part: we draw orbits of quadratic birational maps with real coefficients and sets analogous to Julia sets for polynomials of one variable. We study birational maps of degree 3 and, by considering the different possible configurations of the exceptional curves, we give the "classification" of these maps. We can deduce from this that the set of the birational maps of degree 3 exactly is irreducible, in fact rationally connected.

研究动机与目标

• 理解复射影平面上小次数双有理映射（特别是二次映射）的代数与动力结构。
• 通过分析其例外曲线的配置，对三次双有理映射进行分类。
• 研究自同构在二次映射共轭关系中的作用，以及完整双有理群的生成机制。
• 探索在双有理映射下存在的不变对象，如曲线、叶状结构与纤维化结构。
• 通过轨道与类朱利亚集的可视化，研究实系数二次映射的动力行为。

提出的方法

• 利用代数几何方法对一维参数族的二次双有理映射进行分类。
• 研究二次双有理映射参数空间在有理映射空间中的光滑性与不可约性。
• 运用群论方法证明：有限个一般二次映射在复合运算下生成一个自由群。
• 应用叶状结构不变量（受 Guillot 工作启发），证明一般二次双有理映射的双有理共轭性蕴含其通过射影自同构实现共轭。
• 基于基点与例外曲线的配置，对三次双有理映射进行几何分析。
• 通过数值与实验手段对实二次映射的轨道与类朱利亚集进行可视化。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般二次双有理映射在 P² 上生成的群具有何种代数结构？能否证明其为自由群？
• RQ2 在何种条件下，两个一般二次双有理映射可通过 P² 的自同构实现共轭？
• RQ3 如何基于例外曲线的配置对三次双有理映射进行分类？
• RQ4 不变曲线、叶状结构或纤维化结构在小次数双有理映射的动力系统中起何种作用？
• RQ5 叶状理论中的动力不变量在射影平面上的双有理映射中适用程度如何？

主要发现

• 有限个一般二次双有理映射在复合运算下生成一个自由群。
• 由任意一个二次双有理映射或 P² 的自同构生成的正规子群即为整个双有理映射群，表明该群是完美群。
• 所有三次双有理映射的集合是不可约的，实际上为有理连通的。
• 若两个一般二次双有理映射彼此双有理共轭，则它们必通过 P² 的一个自同构实现共轭。
• 作为有理映射空间的子簇，二次双有理映射的空间是光滑的。
• 轨道与类朱利亚集的可视化揭示了实系数二次映射具有复杂的动力结构。