[论文解读] Transformations Generating Negative [Beta]-expansions

Karma Dajani, Charlene Kalle|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文引入了一类动力系统，用于生成具有 {0,1} 数字的负 β-展开，刻画了所生成的数字序列，并分析了不变测度的支集。证明了该族中不存在任何确定性变换能生成负基意义下的贪心展开，但可通过随机算法定义此类展开，且当 β < (1+√5)/2 时，唯一展开的集合的勒贝格测度为零，仅在端点处例外。

ABSTRACT

We introduce a family of dynamical systems that generate negative $\\beta$-expansions and study the support of the invariant measure which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure. We give a characterization of the set of digit sequences that is produced by a typical member of this family of transformations. We discuss the meaning of greedy expansions in the negative sense, and show that there is no transformation in the introduced family of dynamical systems that generates negative greedy. However, if one looks at random algorithms, then it is possible to define a greedy expansion in base $-\\beta$.

研究动机与目标

• 开发一族动力系统，用于生成 β > 1 时具有 {0,1} 数字的负 β-展开。
• 刻画该族中典型变换所生成的数字序列集合。
• 研究是否可通过确定性变换生成负基意义下的贪心展开。
• 探索在所提出框架下，唯一负 β-展开的存在性与结构。
• 将结果推广至随机算法，并分析不变测度的支集与测度。

提出的方法

• 定义一族分段线性映射 T_j(x) = -βx - j，其中 j ∈ {0,1}，作用于区间 [M⁻, M⁺] = [-β/(β²-1), 1/(β²-1)] 内。
• 将区间 [M⁻, M⁺] 划分为三个区域：U₀、S 和 U₁，其中 U₀ 和 U₁ 分别为 T₀ 和 T₁ 的像区间，S 为切换区域。
• 通过根据当前迭代点是否属于 U₀、U₁ 或 S，以随机方式选择数字，且规则根据迭代步数的奇偶性交替，构造随机变换。
• 利用迭代函数系统与柱集，通过嵌套集合 Ωₙ 定义数字序列集合，确保几乎必然收敛至唯一序列。
• 应用遍历理论与 acim（绝对连续不变测度）理论，分析不变测度的支集与测度。
• 借助 [LY73] 和 [LY78] 中的已知结果，确立变换的存在性及至多有限个遍历分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 该族引入的确定性动力系统能否生成负基意义下贪心的负 β-展开？
• RQ2 这些变换的绝对连续不变测度的支集与结构为何？
• RQ3 该族变换的典型成员所生成的数字序列集合是什么？
• RQ4 能否通过随机算法定义基为 -β 的贪心展开？其与确定性构造相比有何异同？
• RQ5 在 [M⁻, M⁺] 中，哪些点具有唯一负 β-展开（数字属于 {0,1}）？该集合的测度如何？

主要发现

• 该族引入的确定性映射中，没有任何变换能生成负基意义下的贪心 β-展开，因为贪心选择无法在整个区间上一致实现。
• 典型变换所生成的数字序列集合，通过由动力学与区域归属定义的嵌套柱集得以刻画。
• 当 β < (1+√5)/2 时，唯一负 β-展开的点仅有端点 M⁻ 和 M⁺，且该集合的勒贝格测度为零。
• 每个变换的不变测度关于勒贝格测度绝对连续，其支集包含每个间断点附近的区间。
• 可通过随机算法定义基为 -β 的贪心展开，其中数字选择根据当前状态与步数奇偶性交替，几乎必然收敛至贪心序列。
• acim 的支集为前向不变集，其内部至少包含一个间断点，且在两位数情况下，遍历分量的数量至多为两个。