[论文解读] Transformations of infinitely divisible distributions via improper stochastic integrals

Ken‐iti Sato|ArXiv.org|Jul 4, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 26

一句话总结

本文引入并分析了形式为 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$ 的不当随机积分，其中 $X^{(\mu)}$ 是一个齐次独立散列的随机测度，$\mu$ 是一个无限可分分布。本文定义了三种修正变换——补偿、本质和对称化，并通过 Lévy–Khintchine 三元组刻画了它们的定义域，建立了这些定义域为大或小的必要与充分条件。主要贡献在于对函数 $f$ 的 $\tau$-测度的刻画，该测度决定了对 Lévy 测度诱导的变换 $\Psi_f$，并推广了关于 Upsilon 变换的已知结果。

ABSTRACT

Let $X^{(μ)}(ds)$ be an $\mathbb{R}^d$-valued homogeneous independently scattered random measure over $\mathbb{R}$ having $μ$ as the distribution of $X^{(μ)}((t,t+1])$. Let $f(s)$ be a nonrandom measurable function on an open interval $(a,b)$ where $-\infty\leqslant a<b></b>

研究动机与目标

• 将不当随机积分理论从半直线 $[0,\infty)$ 扩展到开区间 $(a,b)$，其中 $-\infty \leq a < b \leq \infty$。
• 通过此类积分定义并分析三种无限可分分布的修正变换——补偿、本质和对称化。
• 通过 Lévy–Khintchine 三元组和绝对可定义性，刻画这些变换的定义域。
• 引入并研究被积函数 $f$ 的 $\tau$-测度，并确定其何时能完全刻画对 Lévy 测度诱导的变换。
• 通过将 $\tau$-测度框架与 $\Psi_f$ 变换联系起来，推广已知的关于 Upsilon 及广义 Upsilon 变换的结果。

提出的方法

• 不当积分 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$ 定义为当 $p \downarrow a$ 且 $q \uparrow b$ 时，$\int_p^q f(s) X^{(\mu)}(ds)$ 在概率意义下的极限。
• 引入三种修正积分：补偿（带中心化）、本质（带特定极限条件）和对称化（通过极限的对称化）。
• 对每种变换，推导出结果分布的 Lévy–Khintchine 三元组，从而实现定义域的刻画。
• 引入绝对可定义性的概念，以识别那些使得不当积分被明确无歧义定义的分布。
• 定义 $f$ 的 $\tau$-测度，并利用条件 $\int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} (|ux|^2 \land 1) \, \nu(dx) < \infty$ 来表达对 Lévy 测度的变换 $\Psi_f$。
• 通过 $f$ 的指示函数、平方或绝对值在 $(a,b)$ 上的可积性，建立 $\Psi_f$ 定义域的等价条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mu \in ID(\mathbb{R}^d)$，不当随机积分 $\int_{a+}^{b-} f(s) X^{(\mu)}(ds)$ 在什么条件下是绝对可定义的？
• RQ2 何时本质变换 $\Phi_{f,\text{es}}$ 或对称化变换 $\Phi_{f,\text{sym}}$ 的定义域尽可能大？
• RQ3 函数 $f$ 的 $\tau$-测度如何决定对 Lévy 测度的变换 $\Psi_f$？
• RQ4 对 $f$ 的什么条件可确保 $\Psi_f$ 将纯非高斯无限可分分布的 Lévy 测度类映射到自身？
• RQ5 在什么情况下 $\Psi_f$ 的像仅限于零测度？

主要发现

• 绝对可定义积分的定义域 $\mathfrak{D}^{0}(\Phi_f)$ 满足 $\mathfrak{D}^{0}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_f) \subset \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{c}}) \subset \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{es}}) = \mathfrak{D}(\Phi_{f,\text{sym}})$。
• 对 Lévy 测度变换 $\Psi_f$ 的定义域由 $\int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} (|ux|^2 \land 1) \, \nu(dx) < \infty$ 刻画。
• 变换 $\Psi_f$ 通过 $\Psi_f(\nu)(B) = \int_{\mathbb{R}} \tau(du) \int_{\mathbb{R}^d} 1_B(ux) \, \nu(dx)$ 将 $\nu$ 映射到 $\Psi_f(\nu)$，其中 $B$ 为 $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 中的博雷尔集。
• 当且仅当 $\int_a^b 1_{\{f(s) \neq 0\}} ds < \infty$ 且 $\int_a^b f(s)^2 ds < \infty$ 时，$\mathfrak{D}(\Psi_f)$ 包含所有 $\mathrm{Lvm}(ID(\mathbb{R}^d))$。
• 当且仅当 $\int_a^b (f(s)^2 \land 1) ds = \infty$ 时，$\mathfrak{D}(\Psi_f)$ 是平凡的（仅包含零测度）。
• 对于一个正规锥 $K \subset \mathbb{R}^d$，有 $\mathrm{Lvm}(ID(K)) \subset \mathfrak{D}(\Psi_f)$ 当且仅当 $\int_a^b 1_{\{f(s) \neq 0\}} ds < \infty$ 且当 $f \geq 0$ 时 $\int_a^b |f(s)| ds < \infty$。