[论文解读] Transformations of units and world's geometry

Israel Quirós|ArXiv.org|Apr 5, 2000

Mathematics and Applications参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文主张，Weyl可积几何（WIG）为引力提供了一致的几何框架，因其在点依赖的单位变换下保持不变——而黎曼几何在这些变换下会破坏。关键结果是，时空奇点（如史瓦西黑洞或弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克宇宙学中的奇点）是选择了不一致几何表述的产物，经共形标度变换后，它们在WIG中变为无奇点的虫洞类几何，表明WIG可能自然地包含量子效应。

ABSTRACT

The issue of the transformations of units is treated, mainly, in a geometrical context. It is shown that Weyl-integrable geometry is a consistent framework for the formulation of the gravitational laws since the basic law on which this geometry rests is invariant under point-dependent transformations of units. Riemann geometry does not fulfill this requirement. Spacetime singularities are then shown to be a consequence of a wrong choice of the geometrical formulation of the laws of gravitation. This result is discussed, in particular, for the Schwrazschild black hole and for Friedmann-Robertson-Walker cosmology. Arguments are given that point at Weyl-integrable geometry as a geometry implicitly containing the quantum effects of matter. The notion of geometrical relativity is presented. This notion may represent a natural extension of general relativity to include invariance under the group of units transformations.

研究动机与目标

• 解决广义相对论在点依赖单位变换下的不一致性，此类变换会影响曲率标量，从而影响物理定律。
• 论证黎曼几何因缺乏在单位变换下的不变性而物理上不充分，导致出现非物理奇点。
• 提出Weyl可积几何（WIG）作为更基本的几何框架，可在单位变换下保持物理定律不变。
• 表明史瓦西和FRW时空中的奇点是黎曼表述的产物，而非物理现实。
• 引入“几何相对性”作为广义相对论的自然延伸，包含单位变换下的不变性，并可能编码量子效应。

提出的方法

• 形式化物理定律在点依赖单位变换下的不变性，特别是对长度、时间和质量的变换。
• 应用共形标度变换（ĝ_ab = Ω²(x)g_ab）将黎曼时空映射为Weyl可积时空，保持时空重合性不变。
• 在原始框架和共形框架中使用Brans-Dicke作用量，以说明单位变换如何影响引力的几何结构。
• 从Brans-Dicke作用量的共形变换推导出Weyl可积表述，证明基本几何公设（公式2.6）的不变性。
• 在共形标度变换下分析史瓦西和弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克解，表明奇点在WIG框架中消失。
• 提出一个新公设：具有不同共形因子的Weyl可积时空之间存在等价性，构成一组物理上不可区分的几何等价类。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何广义相对论中会出现时空奇点，它们是否可能是几何表述的后果而非物理现实？
• RQ2 广义相对论是否在点依赖的单位变换下保持不变？若否，这对物理定律有何影响？
• RQ3 Weyl可积几何能否作为引力的一致几何框架，且在单位变换下保持不变？
• RQ4 度规的共形标度变换如何改变史瓦西和FRW时空中的奇点？这对天体物理观测有何含义？
• RQ5 WIG中单位变换下的不变性是否能自然地包含量子效应，从而暗示与量子力学的更深层次统一？

主要发现

• 史瓦西解中的时空奇点并非物理存在，而是由于使用了在点依赖单位变换下不不变的黎曼几何所致。
• 在共形标度变换（ĝ_ab = Ω²(x)g_ab）下，史瓦西黑洞被映射为Weyl可积几何中的无奇点虫洞时空，且时空重合性未发生改变。
• 弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克宇宙学模型在相同共形映射下也转化为无奇点配置，表明大爆炸奇点可能是几何选择的产物。
• Weyl可积几何在单位变换下保持基本几何公设（公式2.6）不变，使其成为物理定律的一致框架，而黎曼几何则不然。
• 本文引入“几何相对性”作为新原理：具有不同共形因子的无限多组Weyl可积时空在观测和物理上等价，将广义协变性扩展至包含单位变换。
• 结果表明，Weyl可积几何可能隐含地包含物质的量子效应，为广义相对论提供自然延伸，或可解决长期存在的奇点问题。