[论文解读] Transformations preserving the norm of means between positive cones of general and commutative $C^*$-algebras

Yunbai Dong, Lei Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 5

一句话总结

该论文证明了，从单位化 $C^*$-代数的正锥之间取值的、保持算术、几何或调和平均范数的满射变换，必可延拓为 Jordan $*$-同构。在交换情形下，若定义在 $C_0(X)$ 和 $C_0(Y)$ 正锥上的此类映射保持任意均值的范数，且定义域与像中包含足够多能在 $G_{\delta}$ 紧集上峰值的函数，则该映射可延拓为代数 $*$-同构。

ABSTRACT

In this paper, we consider a (nonlinear) transformation $Φ$ of invertible positive elements in $C^*$-algebras which preserves the norm of any of the three fundamental means of positive elements; namely, $\|Φ(A)\mm Φ(B)\| = \|A\mm B\|$, where $\mm$ stands for the arithmetic mean $A abla B=(A+B)/2$, the geometric mean $A\#B=A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}$, or the harmonic mean $A!B=2(A^{-1} + B^{-1})^{-1}$. Assuming that $Φ$ is surjective and preserves either the norm of the arithmetic mean or the norm of the geometric mean, we show that $Φ$ extends to a Jordan $*$-isomorphism between the underlying full algebras. If $Φ$ is surjective and preserves the norm of the harmonic mean, then we obtain the same conclusion in the special cases where the underlying algebras are $AW^*$-algebras or commutative $C^*$-algebras. In the commutative case, for a transformation $T: F(\mathrm{X})\subset C_0(\mathrm{X})_+ ightarrow C_0(\mathrm{Y})_+$, we can relax the surjectivity assumption and show that $T$ is a generalized composition operator if $T$ preserves the norm of the (arithmetic, geometric, harmonic, or in general any power) mean of any finite collection of positive functions, provided that the domain $F(\mathrm{X})$ contains sufficiently many elements to peak on compact $G_δ$ sets. When the image $T(F(\mathrm{X}))$ also contains sufficiently many elements to peak on compact $G_δ$ sets, $T$ extends to an algebra $*$-isomorphism between the underlying full function algebras.

研究动机与目标

• 通过刻画保持基本均值范数的变换，解决关于 $C^*$-代数正锥之间范数保持映射的 Tingley 型问题。
• 通过研究关于算术、几何与调和均值的范数加法映射，将经典的 Mazur-Ulam 定理推广至正锥。
• 建立在交换 $C^*$-代数的正锥之间，此类范数保持映射可延拓为完整代数 $*$-同构的条件。
• 提出一个通用框架，利用峰值集条件刻画非交换与交换 $C^*$-代数中保持均值范数的变换。

提出的方法

• 定义并分析 $C^*$-代数中可逆正元之间保持算术、几何或调和均值范数的变换 $\Phi$：$\|\Phi(A)\mathfrak{m}\Phi(B)\| = \|A\mathfrak{m}B\|$。
• 利用 Kubo-Ando 均值的结构——算术均值 $A\nabla B = (A+B)/2$，几何均值 $A\#B = A^{1/2}(A^{-1/2}BA^{-1/2})^{1/2}A^{1/2}$，调和均值 $A!B = 2(A^{-1}+B^{-1})^{-1}$——来刻画这些映射。
• 证明：对于算术或几何时均值，保持范数的满射映射可延拓为完整 $C^*$-代数之间的 Jordan $*$-同构。
• 对于调和均值，在附加条件下（$AW^*$-代数或交换 $C^*$-代数）可得到相同结论。
• 在交换情形下，利用峰值集条件：若定义域 $F(X)$ 包含在紧 $G_{\delta}$ 集上峰值的函数，则保持范数的映射可延拓为 $*$-同构。
• 应用变换 $f \mapsto (Tf^{1/p})^p$（$p>0$）与 $f \mapsto (Tf^{-1/p})^{-p}$（$p<0$），将幂均值转化为算术或调和均值的保持性，借助定理 3.9 与 3.26。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从 $C^*$-代数正锥之间取值的、保持算术均值范数的满射映射可延拓为 Jordan $*$-同构？
• RQ2 在单位化 $C^*$-代数的正定元之间，保持几何均值范数的映射是否可延拓为 Jordan $*$-同构？
• RQ3 在 $AW^*$-代数或交换 $C^*$-代数的正锥之间，保持调和均值范数的映射是否可延拓为 Jordan $*$-同构？
• RQ4 在交换情形下，正函数上的保持范数映射在何种条件下可延拓为 $C_0(X)$ 与 $C_0(Y)$ 之间的代数 $*$-同构？
• RQ5 在交换情形下，何种拓扑条件可确保保持范数的均值映射延拓为完整代数同构？

主要发现

• 从单位化 $C^*$-代数正锥之间取值的、保持算术或几何时均值范数的满射映射，可延拓为完整代数之间的 Jordan $*$-同构。
• 对于调和均值，若其基底代数为 $AW^*$-代数或交换 $C^*$-代数，则此类延拓成立。
• 在交换情形下，若映射 $T: F(X) \subset C_0(X)_+ \to C_0(Y)_+$ 保持任意有限均值（算术、几何、调和或幂均值）的范数，且 $F(X)$ 包含在紧 $G_{\delta}$ 集上峰值的函数，则 $T$ 是广义复合算子。
• 若 $F(X)$ 与 $T(F(X))$ 均包含足够多在紧 $G_{\delta}$ 集上峰值的函数，则 $T$ 可延拓为 $C_0(X)$ 与 $C_0(Y)$ 之间的代数 $*$-同构。
• 在峰值集条件下，若定义域与值域均配备范数为 1 的正函数，则 $T$ 的满射性可由其稠密像推出。
• 证明依赖于：在定义域中，柯西序列收敛于极限处的严格正函数，从而保证像的稠密性与映射的满射性。