[论文解读] Transient random walk in symmetric exclusion: limit theorems and an Einstein relation

Luca Avena, Renato dos Santos+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 13

一句话总结

本文研究在平衡态下的一维对称排除过程中的最近邻随机游走，其中在占据与空位上的跃迁速率不同。通过基于再生时间的更新结构，该文在退火测度下建立了大数定律、功能中心极限定理以及大偏差结果，并证明了爱因斯坦关系，将速度的导数与弱扰动下的扩散系数联系起来。

ABSTRACT

We consider a one-dimensional simple symmetric exclusion process in equilibrium, constituting a dynamic random environment for a nearest-neighbor random walk that on occupied/vacant sites has two different local drifts to the right. We construct a renewal structure from which a LLN, a functional CLT and large deviation bounds for the random walk under the annealed measure follow. We further prove an Einstein relation under a suitable perturbation. A brief discussion on the topic of random walks in slowly mixing dynamic random environments is presented.

研究动机与目标

• 在退火测度下建立随机游走速度的几乎必然收敛与Lp收敛。
• 为随机游走的退火分布推导功能中心极限定理。
• 为退火过程证明大偏差界。
• 建立爱因斯坦关系，将弱扰动下速度的导数与未扰动游走的扩散系数联系起来。
• 分析排除过程的慢混合与随机游走的快速传播之间的相互作用，从而实现再生结构。

提出的方法

• 基于随机游走离开环境区域后发生再生的时间点构建更新结构。
• 利用条件 $\alpha_0 \wedge \alpha_1 - \beta_0 \vee \beta_1 > 1$ 确保瞬时性与快速传播，克服对称排除过程的慢混合问题。
• 应用耦合及类耦合论证，控制在标记粒子上停留的时间，从而控制环境的影响。
• 利用游走的 quenched 平 martingale 性质，通过环境上的遍历平均推导速度。
• 在弱耦合 $\lambda$ 下对跃迁率 $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1$ 应用微扰理论，将速度 $v(\lambda)$ 展开至一阶。
• 利用恒等式 $\lim_{\lambda \downarrow 0} \hat{\rho}(\lambda) = \rho$ 将环境的经验密度与平衡测度 $\nu_\rho$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 退火测度下的随机游走是否满足大数定律与功能中心极限定理？
• RQ2 在退火测度下，大偏差是否呈指数不可能性？
• RQ3 随机游走的速度对占据与空位上跃迁速率的小扰动如何响应？
• RQ4 在此具有慢混合特性的动态随机环境中，能否建立爱因斯坦关系？
• RQ5 与SSEP的混合时间相比，游走的快速瞬时性在实现再生结构中起到何种作用？

主要发现

• 随机游走满足强大数定律：$\lim_{t \to \infty} X_t / t = v$ $\mathbb{P}_{\nu_\rho}$-几乎必然且对所有 $p \geq 1$ 在 $L^p$ 中成立，其中 $v > 1$。
• 退火过程满足功能中心极限定理：$\left( \frac{X_{nt} - ntv}{\sqrt{n}} \right)_{t \geq 0} \Rightarrow \sigma B$，其中 $\sigma \in (0, \infty)$。
• 退火游走的大偏差呈指数不可能性：对任意 $\epsilon > 0$，有 $\limsup_{t \to \infty} t^{-1} \log \mathbb{P}_{\nu_\rho}(|X_t - tv| \geq t\epsilon) < 0$。
• 爱因斯坦关系成立：$\lim_{\lambda \downarrow 0} \frac{v(\lambda) - v(0)}{\lambda} = \alpha + \beta$，将速度的导数与未扰动游走的扩散系数联系起来。
• 环境的经验密度 $\hat{\rho}(\lambda)$ 满足 $\lambda \downarrow 0$ 时趋于 $\rho$，确保与平衡测度的一致性。
• 再生结构由条件 $\alpha_0 \wedge \alpha_1 - \beta_0 \vee \beta_1 > 1$ 实现，该条件确保游走速度超过环境的混合时间。