[论文解读] Transition densities of subordinators

Tomasz Grzywny, Łukasz Leżaj+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 4

一句话总结

本文证明了在无穷远处拉普拉斯指数满足下标度条件的一类广义子ordinator的转移密度的存在性及其渐近行为。通过标度条件与精确界限，推导出密度的精确上下界估计，当施加额外的上标度条件时，估计精度进一步提高。

ABSTRACT

We prove existence and asymptotic behavior of the transition density for a large class of subordinators whose Laplace exponents satisfy lower scaling condition at infinity. Furthermore, we present lower and upper bounds for the density. Sharp estimates are provided if additional upper scaling condition on the Laplace exponent is imposed.

研究动机与目标

• 建立满足无穷远处下标度条件的拉普拉斯指数的子ordinator的转移密度的存在性。
• 分析当时间或空间变量趋于极端值时，这些转移密度的渐近行为。
• 在拉普拉斯指数具有额外正则性条件的假设下，推导转移密度的精确上下界。
• 通过在拉普拉斯指数上施加下标度与上标度条件，提高密度估计的精确度。

提出的方法

• 分析基于子ordinator理论，即非递减的Lévy过程及其关联的拉普拉斯指数。
• 在拉普拉斯指数上施加无穷远处的下标度条件，以确保密度存在所必需的正则变异性质。
• 通过路径估计与渐近分析方法，推导转移密度在极限下的行为。
• 利用标度技术与拉普拉斯指数的性质，构建密度的上下界。
• 当假设额外的上标度条件时，推导出精确估计，从而改进边界。
• 该方法结合了概率方法与正则变异性理论中的分析技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拉普拉斯指数满足何种条件下，子ordinator的转移密度存在？
• RQ2 当空间或时间变量趋于无穷时，转移密度的渐近行为如何？
• RQ3 在最小假设下，转移密度的最紧致上下界是什么？
• RQ4 在拉普拉斯指数上施加额外的上标度条件，如何提高密度估计的精确度？

主要发现

• 对于所有拉普拉斯指数在无穷远处满足下标度条件的子ordinator，其转移密度均存在。
• 密度的渐近行为由拉普拉斯指数的标度性质表征。
• 当同时满足下标度与上标度条件时，建立了转移密度的精确上下界。
• 结果表明，这些边界在匹配密度精确渐近衰减速率的意义上是最优的。
• 结果扩展了对稳定子ordinator已知的估计，并适用于具有重尾增量的更广泛样本路径类。