[论文解读] Transition path theory for Langevin dynamics on manifold: optimal control and data-driven solver

Yuan Gao, Tiejun Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Protein Structure and Dynamics参考文献 9被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种数据驱动的最优控制框架，用于在流形上的朗之万动力学下高效模拟生化系统中的罕见构象转变。通过将过渡路径理论重新解释为最优控制问题，该方法基于发函（committor-based）控制在点云上构建最优控制的随机游走，使罕见转变几乎必然在 O(1) 时间内发生，并通过局部平均准确计算平均转变路径，已在合成数据和丙氨酸二肽数据上得到验证。

ABSTRACT

We present a data-driven point of view for rare events, which represent conformational transitions in biochemical reactions modeled by over-damped Langevin dynamics on manifolds in high dimensions. We first reinterpret the transition state theory and the transition path theory from the optimal control viewpoint. Given point clouds sampled from a reaction dynamics, we construct a discrete Markov process based on an approximated Voronoi tesselation. We use the constructed Markov process to compute a discrete committor function whose level set automatically orders the point clouds. Then based on the committor function, an optimally controlled random walk on point clouds is constructed and utilized to efficiently sample transition paths, which become an almost sure event in $O(1)$ time instead of a rare event in the original reaction dynamics. To compute the mean transition path efficiently, a local averaging algorithm based on the optimally controlled random walk is developed, which adapts the finite temperature string method to the controlled Monte Carlo samples. Numerical examples on sphere/torus including a conformational transition for the alanine dipeptide in vacuum are conducted to illustrate the data-driven solver for the transition path theory on point clouds. The mean transition path obtained via the controlled Monte Carlo simulations highly coincides with the computed dominant transition path in the transition path theory.

研究动机与目标

• 解决在高维生化系统中模拟罕见构象转变的挑战，由于时间尺度分离过大，直接模拟不可行。
• 开发一种仅基于从未知流形上采样得到的点云数据的、完全数据驱动的方法，无需对底层流形或势能函数有显式了解。
• 将过渡路径理论和过渡态理论重新解释为无限时域最优控制问题，以实现对罕见事件的高效采样。
• 在点云上构建最优控制的随机游走，使罕见转变成为几乎必然事件，且耗时为 O(1)。
• 通过在受控蒙特卡洛样本上应用局部平均算法，高效计算平均转变路径。

提出的方法

• 利用发函函数及其对数梯度，将过渡路径理论和过渡态理论重新解释为无限时域最优控制问题。
• 通过沃罗诺伊剖分在点云上构建离散马尔可夫过程，以近似底层流形上的动力学。
• 计算一个离散发函函数，其等值线按点云向目标态的进展顺序进行排序。
• 基于发函函数设计最优控制律 $ v^* = 2\varepsilon \nabla \ln q $，以定义加速罕见转变的受控随机游走。
• 使用有效平衡测度 $ \pi^e = q^2 \pi $ 引导受控随机游走，确保收敛至正确的转变统计特性。
• 开发一种局部平均算法（算法2），通过受控蒙特卡洛样本计算平均转变路径，将有限温张力线法适配至受控动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 过渡路径理论能否被重新表述为最优控制问题，以实现对罕见构象转变的高效采样？
• RQ2 如何在点云上构建受控随机游走，使罕见转变几乎必然在 O(1) 时间内发生？
• RQ3 能否在不事先了解流形或势能函数的前提下，从受控蒙特卡洛模拟中准确恢复平均转变路径？
• RQ4 由发函函数导出的有效势 $ U^e $ 与原始势 $ U_{\mathcal{N}} $ 相比，其转变势垒高度有何差异？
• RQ5 在受控样本上应用的局部平均算法在多大程度上能重现TPT中的主导转变路径？

主要发现

• 受控随机游走使从 $ C_{ax} $ 到 $ C_{7eq} $ 的转变在 $ 10^5 $ 次模拟步内发生了 21 次，表明在受控动力学下罕见事件变得频繁。
• 由发函函数导出的有效势 $ U^e $ 在 $ C_{ax} $ 处显示局部极大值，而原始势 $ U_{\mathcal{N}} $ 则具有尖锐极小值，解释了在控制下转变被促进的原因。
• 通过局部平均算法（算法2）在 $ M=100 $ 和 $ L_{\text{max}}=200 $ 条路径下计算出的平均转变路径，在环面和 $ (\phi,\psi) $ 平面上均与TPT的主导转变路径完全一致。
• 该算法成功恢复了丙氨酸二肽从 $ C_{ax} $ 到 $ C_{7eq} $ 的构象转变的主导转变路径，与其它方法的先前结果一致。
• 该方法在合成数据（球面/环面）和真实生物分子数据上均实现了准确的路径恢复，证明了其鲁棒性与数据驱动的适用性。
• 发函函数的等值线为点云提供了自然的排序方式，使得无需预先知晓反应坐标即可构建具有物理意义的转变坐标。