[论文解读] Transition Phenomena for the Attractor of an Iterated Function System

Krzysztof Leśniak, Nina Snigireva+2 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文研究了一参数族迭代函数系统（IFS）在压缩性与扩张性边界处的转变现象。证明了对于一大类仿射IFS族，存在一个阈值参数 $ t_0 $，使得当 $ t < t_0 $ 时IFS具有唯一吸引子，当 $ t > t_0 $ 时无吸引子，而在 $ t_0 $ 处存在唯一的上转变吸引子 $ A^\bullet $，其定义为极限 $ \lim_{t \to t_0} A_t $。主要贡献在于在实Banach空间中，通过IFS函数线性部分的周期性条件，严格证明了此类上转变吸引子存在的一个强形式猜想。

ABSTRACT

Iterated function systems (IFSs) and their attractors have been central to the theory of fractal geometry almost from its inception. And contractivity of the functions in the IFS has been central to the theory of iterated functions systems. If the functions in the IFS are contractions, then the IFS is guaranteed to have a unique attractor. Recently, however, there has been an interest in what occurs to the attractor at the boundary between contractvity and expansion of the IFS. That is the subject of this paper. For a family $F_t$ of IFSs depending on a real parameter $t>0$, the existence and properties of two types of transition attractors, called the lower transition attractor $A_{\bullet}$ and the upper transition attractor $A^{\bullet}$, are investigated. A main theorem states that, for a wide class of IFS families, there is a threshold $t_0$ such that the IFS $F_t$ has a unique attractor $A_t$ for $t<t_0$ and no attractor for $t>t_0$. At the threshold $t_0$, there is an $F_{t_0}$-invariant set $A^{\bullet}$ such that $A^{\bullet} = \lim_{t ightarrow t_0} A_t$.

研究动机与目标

• 研究一参数族IFS在压缩性与非压缩性临界点处吸引子的行为。
• 解决一个开放问题：在参数 $ t_0 $ 处，当IFS对 $ t > t_0 $ 失去吸引子时，是否存在唯一的上转变吸引子。
• 建立此类转变吸引子 $ A^\bullet $ 存在的充分条件，特别是线性部分的周期性条件，以扩展先前的猜想。
• 通过构造非可分、无穷维空间中的反例，检验IFS函数线性部分周期性的必要性。

提出的方法

• 分析一参数族仿射IFS $ F_t $，其中函数关于实参数 $ t > 0 $ 连续依赖，且 $ t \to 0 $ 对应强压缩性。
• 引入阈值 $ t_0 $ 的概念，使得当 $ t < t_0 $ 时 $ F_t $ 具有唯一吸引子 $ A_t $，但当 $ t > t_0 $ 时无吸引子，并研究在 $ t_0 $ 处的极限集 $ A^\bullet = \lim_{t \to t_0} A_t $。
• 使用Hutchinson算子 $ F(K) = \bigcup_{f \in F} f(K) $ 作用于紧子集 $ K \subset X $，并在Hausdorff度量下研究收敛性。
• 通过证明在特殊函数 $ g $ 的线性部分具有周期性时，强形式的[33]中一个猜想成立，从而在实Banach空间中证明了上转变吸引子 $ A^\bullet $ 存在且等于 $ \lim_{t \to t_0} A_t $。
• 在 $ \ell^\infty(\mathbb{C}) $ 中构造反例，表明周期性是必要的：当线性部分非周期时，极限 $ \lim_{t \to t_0} A_t $ 不存在。
• 采用Hausdorff度量 $ h $ 分析吸引子的收敛性，并证明当 $ s \in [1/2, 1) $ 且 $ t $ 接近1时，有 $ h(A_t, A_s) \geq 1/2 $，违反了柯西收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一参数IFS族 $ F_t $ 的吸引子 $ A_t $ 在临界点 $ t_0 $ 处收敛于一个紧致的、$ F_{t_0} $-不变集 $ A^\bullet $？
• RQ2 IFS函数 $ g $ 的线性部分的周期性是否为上转变吸引子 $ A^\bullet $ 存在的必要条件？
• RQ3 在有限维或可分Banach空间中，是否可在不假设周期性的情况下保证上转变吸引子的存在？
• RQ4 上转变吸引子 $ A^\bullet $ 与下转变吸引子 $ A_\bullet $ 之间存在何种关系，特别是当 $ A^\bullet = A_\bullet $ 时？
• RQ5 在IFS函数具有某些几何假设的前提下，上、下转变吸引子的度量凸包是否重合？

主要发现

• 对于一大类一参数仿射IFS族，存在唯一的阈值 $ t_0 $，使得当 $ t < t_0 $ 时 $ F_t $ 具有唯一吸引子 $ A_t $，但当 $ t > t_0 $ 时无吸引子。
• 在阈值 $ t_0 $ 处，上转变吸引子 $ A^\bullet $ 存在，且满足 $ A^\bullet = \lim_{t \to t_0} A_t $，从而证明了[33]中一个强形式猜想。
• 函数 $ g $ 的线性部分的周期性是上转变吸引子存在的必要条件；若无周期性，极限 $ \lim_{t \to t_0} A_t $ 将不存在。
• 在使用 $ \ell^\infty(\mathbb{C}) $ 构造的反例中，当 $ t \to 1 $ 时吸引子 $ A_t $ 不收敛，因为对所有 $ s \in [1/2, 1) $ 且 $ t $ 接近1，有 $ h(A_t, A_s) \geq 1/2 $，违反了柯西收敛性。
• 对所有 $ t \in (0,1] $，吸引子 $ A_t $ 包含于某个特定闭集 $ D $ 中，且固定点 $ 1 \in A_t $，该性质被用于推导Hausdorff距离的下界。
• 证明表明，对任意 $ s \in [1/2, 1) $，存在 $ t_0 < 1 $，使得对所有 $ t \in [t_0, 1) $，Hausdorff距离 $ h(A_t, A_s) \geq 1/2 $，从而表明当 $ t \to 1 $ 时 $ A_t $ 不收敛。