[论文解读] Transition probability estimates for long range random walks

Mathav Murugan, Laurent Salo-Coste|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文在满足体积加倍和正则变体的均匀离散度量测度空间上，为长程随机游走的 $n$-步转移概率密度建立了精确的全局上下界。通过利用度量变换将跳跃核条件推广至一般正则变体函数，证明了热核估计与尺度 $n / (V_h(d(x,y)) \phi(d(x,y)))$ 和 $1/V_h(n^{1/\beta})$ 一致，至多相差一个乘法常数，且在广义跳跃核条件 $JP(\beta)$ 下成立。结果推广并统一了此前在具有幂律衰减的度量空间上 Lévy 型过程的估计结果。

ABSTRACT

Let $(M,d,μ)$ be a uniformly discrete metric measure space satisfying space homogeneous volume doubling condition. We consider discrete time Markov chains on $M$ symmetric with respect to $μ$ and whose one-step transition density is comparable to $ (V_h(d(x,y)) ϕ(d(x,y))^{-1}$, where $ϕ$ is a positive continuous regularly varying function with index $β\in (0,2)$ and $V_h$ is the homogeneous volume growth function. Extending several existing work by other authors, we prove global upper and lower bounds for $n$-step transition probability density that are sharp up to constants.

研究动机与目标

• 推导均匀离散度量测度空间上长程随机游走的 $n$-步转移概率密度的全局上下界。
• 将现有热核估计推广至超越幂律衰减的更一般正则变体函数。
• 建立与尺度 $n / (V_h(d(x,y)) \phi(d(x,y)))$ 和 $1/V_h(n^{1/\beta})$ 一致的精确估计，至多相差乘法常数。
• 统一并扩展先前在满足体积加倍的度量测度空间中长程 Lévy 型过程的研究结果。

提出的方法

• 使用满足体积加倍且与计数测度比较的均匀离散度量测度空间 $(M,d,\mu)$。
• 引入广义跳跃核条件 $JP(\beta)$，其中 $J(x,y) \asymp 1/(V_h(d(x,y)) \phi(d(x,y)))$，$\phi$ 为指数 $\beta \in (0,2)$ 的正则变体函数。
• 通过凹函数 $g$ 的度量变换，将广义情形约化为标准幂律情形。
• 利用 Chapman-Kolmogorov 方程与中间点的链式估计，证明热核的上下界。
• 利用体积加倍与正则变体控制变换后度量下 $V_h$ 与 $V_h^\prime$ 的增长。
• 通过与标准 $n^{1/\beta}$ 尺度及 $d(x,y)$ 相关的衰减比较，建立精确边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在满足体积加倍且跳跃核为一般正则变体函数的度量测度空间上，为长程随机游走的 $n$-步转移密度建立精确的全局上下界？
• RQ2 在该广义跳跃核下，转移密度如何随时间 $n$ 与距离 $d(x,y)$ 变化？
• RQ3 体积增长函数 $V_h$ 与正则变体函数 $\phi$ 在决定热核行为中的精确作用是什么？
• RQ4 能否通过度量变换技术将标准幂律估计推广至更一般的跳跃核？
• RQ5 当 $\phi$ 不是幂函数而是指数 $\beta \in (0,2)$ 的一般正则变体函数时，边界在多大程度上仍保持精确？

主要发现

• $n$-步转移密度 $h_n(x,y)$ 满足如下全局上界：$h_n(x,y) \leq C \left( \frac{1}{V_h(n^{1/\beta})} \wedge \frac{n}{V_h(d(x,y)) \phi(d(x,y))} \right)$，对所有 $n \in \mathbb{N}^*$ 与 $x,y \in M$ 成立，且常数 $C$ 与 $n,x,y$ 无关。
• 存在匹配的下界：$h_n(x,y) \geq c \left( \frac{1}{V_h(n^{1/\beta})} \wedge \frac{n}{V_h(d(x,y)) \phi(d(x,y))} \right)$，证明了常数意义上的精确性。
• 结果可推广至 $\phi$ 为指数 $\beta \in (0,2)$ 的一般正则变体函数（而不仅限于幂律）的情形，通过使用凹函数 $g$ 对度量进行变换实现。
• 在变换后的度量 $d' = g \circ d$ 下，跳跃核满足标准的 $UJP(\delta)$ 与 $LJP(\delta)$ 条件（$\delta \in (\beta,2)$），从而可应用已知估计。
• 新度量下的体积增长满足 $V_h^\prime(r) \asymp V_h(r^{\delta/\beta} l_\#(r^{\delta/\beta}))$，保持了尺度结构。
• 最终边界以原始度量与 $\phi$ 表达，表明渐近行为由 $V_h(n^{1/\beta} l_\#(n^{1/\beta}))$ 与 $V_h(d(x,y)) \phi(d(x,y))$ 决定。