[论文解读] Transitive 2-representations of finitary 2-categories

Volodymyr Mazorchuk, Vanessa Miemietz|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文引入并分类了有限型2-范畴的简单投射2-表示，建立了不可约表示的2-范畴类比。证明了弱Jordan-Hölder定理，并表明对于一大类2-范畴——包括Soergel双模、2-Kac-Moody代数的商以及自对偶代数上的投影函子——简单投射2-表示恰好是胞腔2-表示，从而证明了有限维单李代数的简单可积模的 categorification 的唯一性。

ABSTRACT

In this article, we define and study the class of simple transitive $2$-representations of finitary $2$-categories. We prove a weak version of the classical Jordan-Hölder Theorem where the weak composition subquotients are given by simple transitive $2$-representations. For a large class of finitary $2$-categories we prove that simple transitive $2$-representations are exhausted by cell $2$-representations. Finally, we show that this large class contains finitary quotients of $2$-Kac-Moody algebras.

研究动机与目标

• 定义并研究简单投射2-表示，作为经典表示论中不可约表示的2-范畴类比。
• 为有限型2-表示建立弱Jordan-Hölder定理，其中简单投射2-表示作为弱复合子商出现。
• 对一大类有限型2-范畴（包括2-Kac-Moody代数和Soergel双模）的简单投射2-表示进行分类。
• 证明在此类2-范畴中，简单投射2-表示与胞腔2-表示一致，从而确立有限维单李代数的简单可积模的 categorification 的唯一性。

提出的方法

• 通过1-态射的多半群的离散投射作用引入投射2-表示的概念。
• 通过2-作用下不变的非平凡范畴理想的存在性缺失来定义2-表示中的单纯性。
• 将分类问题约化为有限维自对偶代数的模范畴上的投影函子2-范畴。
• 利用非负矩阵上的Perron-Frobenius定理分析投影函子2-范畴中双模的自同态代数。
• 构造一般有限型2-表示的滤过结构，其子商为投射的，从而导出弱Jordan-Hölder结构。
• 通过分析1-态射的矩阵表示并利用反证法排除其他可能配置，验证胞腔2-表示为简单投射的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限维代数中，简单投射2-表示是否为不可约表示的正确2-范畴类比？
• RQ2 能否为有限型2-表示建立弱Jordan-Hölder定理，使得简单投射2-表示作为子商出现？
• RQ3 对于由Soergel双模和2-Kac-Moody代数等产生的有限型2-范畴，简单投射2-表示是否均由胞腔2-表示穷尽？
• RQ4 简单投射2-表示的分类是否意味着有限维单李代数的简单可积模的 categorification 在此框架下具有唯一性？

主要发现

• 在一大类有限型2-范畴（包括2-Kac-Moody代数和A型Soergel双模）中，简单投射2-表示被分类为胞腔2-表示。
• 弱Jordan-Hölder定理成立：每个有限型2-表示都存在一个滤过结构，其子商为投射的，且简单投射的子商作为弱复合子商出现。
• 在有限维自对偶代数上的投影函子2-范畴情形下，分类依赖于对表示自同态代数的非负矩阵应用Perron-Frobenius定理。
• 简单投射2-表示中1-态射的矩阵表示被限制为特定形式，如[[1,1],[1,1]]或[[2,0],[0,0]]，并受复合关系的进一步约束。
• 当假设生成元的替代矩阵形式时，会导出矛盾，从而证明在所考虑的情形下，仅胞腔2-表示可为简单投射的。
• 该结果表明，在此框架下，有限维单李代数的简单可积模的 categorification 具有唯一性。