[论文解读] Transitive cylinder flows whose set of discrete points is of full Hausdorff dimension

Eugeniusz Dymek|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 7

一句话总结

该论文针对每个无理旋转 $\alpha \in [0,1)$ 构造了在 $[0,1) \times \mathbb{R}$ 上的传递柱流，使用连续上循环 $f: [0,1) \to \mathbb{R}$，使得具有离散轨道的点集的豪斯多夫维数恰好为 2。该构造扩展了先前的工作，实现了离散轨道集合的最大维数，展示了非紧致系统中一种形式的‘离散Devaney混沌’。

ABSTRACT

For each irrational $α\in[0,1)$ we construct a continuous function $f\: [0,1) o \R$ such that the corresponding cylindrical transformation $[0,1) imes\R i (x,t) \mapsto (x+α, t+ f(x)) \in [0,1) imes\R$ is transitive and the Hausdorff dimension of the set of points whose orbits are discrete is 2. Such cylindrical transformations are shown to display a certain chaotic behaviour of Devaney-like type.

研究动机与目标

• 解决拓扑动力系统中一个开放问题：Besicovitch柱流中离散轨道集合的豪斯多夫维数最大可能值。
• 将先前结果扩展：证明在 $d$-环面旋转下，离散轨道集合的维数至少可达 $d + 1/2$，现可达到完整维数 $d+1$。
• 证明此类系统在非紧致设定下表现出广义的Devaney混沌形式，称为‘离散Devaney混沌’。
• 提供一种构造方法，生成连续上循环，使其关联的柱流具有全维数的离散轨道集合。

提出的方法

• 为每个无理数 $\alpha \in [0,1)$ 构造一个连续函数 $f: [0,1) \to \mathbb{R}$，使得关联的柱变换 $T_f(x,t) = (x+\alpha, t + f(x))$ 是传递的。
• 利用 $\alpha$ 的连分数逼近和丢番图性质，定义一个特定子集 $F^{s_-s_+} \subset [0,1)$，该子集支持离散轨道。
• 通过分析Birkhoff和 $f^{(n)}(x)$ 的增长性并利用部分和的有界性，证明 $F^{s_-s_+} \times \mathbb{R}$ 中点的轨道是离散的。
• 应用分形几何与丢番图逼近技术，计算 $F^{s_-s_+}$ 的豪斯多夫维数，证明其等于 1，因此 $F^{s_-s_+} \times \mathbb{R}$ 的维数为 2。
• 利用离散轨道在动力系统下的不变性以及 $T_f$ 的传递性，证明离散点集在 $[0,1) \times \mathbb{R}$ 中稠密。
• 通过在Devaney混沌定义中以离散轨道替代周期点，引入‘离散Devaney混沌’概念，并证明其具有敏感性与最大性（在有界紧致性条件下）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{T}^d$ 上的极小旋转下，Besicovitch柱流中离散轨道集合的豪斯多夫维数是否可能超过 $d + 1/2$？
• RQ2 能否构造一个关于 $\mathbb{T}$ 上无理旋转的传递柱流，使得其离散轨道集合具有全豪斯多夫维数 2？
• RQ3 在非紧致动力系统中，是否存在一种广义的Devaney混沌形式，其中周期点被离散轨道所取代？
• RQ4 在这些系统中，特别是当离散轨道集合为全维数时，其拓扑与测度结构如何表现？

主要发现

• 对每个无理数 $\alpha \in [0,1)$，存在一个连续函数 $f: [0,1) \to \mathbb{R}$，使得关联的柱变换 $T_f$ 是传递的。
• 具有离散轨道的点集包含一个子集 $F^{s_-s_+} \times \mathbb{R}$，其豪斯多夫维数恰好为 2。
• 该构造实现了离散轨道集合的全豪斯多夫维数，解决了离散轨道维数是否可超过 $d + 1/2$ 的开放问题。
• 该系统表现出‘离散Devaney混沌’——其为传递系统，且存在稠密的离散点集，满足广义的敏感性条件。
• 非周期离散点集是稠密的，且系统具有最大敏感性，意味着其在Alsedà与Planas的意义下是最大混沌的。
• 动力系统并非极小，且空间 $[0,1) \times \mathbb{R}$ 是有界紧致的，确保非周期离散轨道无界，从而贡献于系统的敏感性。