[论文解读] Transitive Lie algebroids - categorical point of view

Александр Сергеевич Мищенко|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Diverse Scientific Research in Ukraine被引用 5

一句话总结

本文使用范畴论框架对可传递李代数胚进行分类，通过拉回构造建立从光滑流形到可传递李代数胚的同伦函子。构造了一个分类空间 $\mathcal{B}_g$，使得在流形 $M$ 上以固定李代数 $g$ 为纤维的可传递李代数胚的同构类与同伦类 $[M, \mathcal{B}_g]$ 对应，从而通过 $\mathcal{B}_g$ 的上同调实现特征类的刻画。关键结果是：对于交换李代数 $g$，分类由平坦李代数丛与上同调类 $H^2(M; \bar{g})$ 给出。该方法通过函子的自然变换，将经典特征类理论推广至李代数胚。

ABSTRACT

The intention of this article is to make an attempt of classification of transitive Lie algebroids and on this basis to construct a classifying space. The realization of the intention allows to describe characteristic classes of transitive Lie algebroids form the point of view a natural transformation of functors similar to the classical abstract characteristic classes for vector bundles.

研究动机与目标

• 使用范畴论与同伦论方法对可传递李代数胚进行分类。
• 为具有固定李代数 $g$ 的可传递李代数胚构造一个分类空间 $\mathcal{B}_g$。
• 将可传递李代数胚的特征类定义为从代数胚函子到上同调函子的自然变换。
• 将经典向量丛特征类理论推广至可传递李代数胚的框架。
• 建立可传递李代数胚与映射到 $\mathcal{B}_g$ 的同伦类之间的对应关系。

提出的方法

• 利用光滑映射 $f: M' \to M$ 下可传递李代数胚的拉回（逆像）构造 $f^{!!}(\mathcal{A})$，建立同伦函子。
• 应用艾伦·哈彻（Allen Hatcher）关于向量丛工作的思想，证明同伦映射诱导同构的拉回，从而表明该函子是同伦不变的。
• 构造分类空间 $\mathcal{B}_g$，使得 $\mathcal{A}(M) \cong [M, \mathcal{B}_g]$，其中 $\mathcal{A}(M)$ 是以 $M$ 为底流形、纤维为 $g$ 的可传递李代数胚的同构类集合。
• 将特征类刻画为从函子 $\mathcal{A}$ 到上同调函子 $H^*$ 的自然变换，类比陈-韦伊理论。
• 分析在截面 trivialization 变换下转移函数 $\varphi_{\beta\alpha}$ 与联络形式 $\omega_{\beta\alpha}$ 的变换规律，推导涉及自同构 $\eta_{\beta}$ 与 1-形式 $\mu_{\beta}$ 的变换关系。
• 对于交换李代数 $g$，证明 $\varphi_{\beta\alpha}$ 为常数，且 $\omega_{\beta\alpha}$ 构成 $C^1(\mathfrak{U}, \Omega^1(\bar{g}))$ 中的Čech上循环，满足 $d'\omega = d''\omega = 0$，从而导出类 $[\omega] \in H^2(M; \bar{g})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用范畴论与同伦论工具对可传递李代数胚进行分类？
• RQ2 拉回构造在建立可传递李代数胚的同伦函子中起什么作用？
• RQ3 可传递李代数胚的特征类如何从函子的自然变换中产生？
• RQ4 具有固定李代数 $g$ 的可传递李代数胚的分类空间 $\mathcal{B}_g$ 的结构是什么？
• RQ5 $\mathcal{B}_g$ 的上同调如何编码可传递李代数胚的特征类？

主要发现

• 具有固定李代数 $g$ 的可传递李代数胚的范畴与从流形 $M$ 到分类空间 $\mathcal{B}_g$ 的同伦类的范畴等价，即 $\mathcal{A}(M) \cong [M, \mathcal{B}_g]$。
• 对于交换李代数 $g$，可传递李代数胚由平坦李代数丛 $\bar{g}$ 与上同调类 $[\omega] \in H^2(M; \bar{g})$ 分类，该类由Čech上循环 $\omega_{\beta\alpha}$ 导出。
• 在交换情形下，转移函数 $\varphi_{\beta\alpha}(x)$ 为常数，意味着相关丛 $\bar{g}$ 是平坦的。
• 上同调类 $[\omega]$ 是良定义的，且与截面选择无关，因为变换规则保持了Čech上循环条件。
• 诱导丛 $\overline{H_1(g)}$ 与 $\overline{H^*(g)}$ 是平坦的，且联络形式 $\omega_{\beta\alpha}$ 导出上同调类 $[\overline{\omega}] \in H^2(M; \overline{H_1(g)})$。
• 该分类由结构群为 $\widetilde{\mathrm{Aut}(g)}$ 的李代数丛控制，配备使作用在同调上连续的最小拓扑，从而保证相关丛的平坦性。