[论文解读] Transitivity Correlation: Measuring Network Transitivity as Comparative Quantity

David Dekker, David Krackhardt+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文引入了两种新的网络传递性度量——传递性Phi（TPhi）和传递性相关性（TC）——用于量化在存在两跳路径时关系存在的相对倾向性，解决了传统聚类系数的局限性。TC通过将直接边的存在性与所有中间节点的两跳路径总数进行相关性分析，更好地捕捉了风车图等高度结构化网络中的传递性，其值趋近于1，而TPhi则趋近于0。

ABSTRACT

This paper proposes that common measures for network transitivity, based on the enumeration of transitive triples, do not reflect the theoretical statements about transitivity they aim to describe. These statements are often formulated as comparative conditional probabilities, but these are not directly reflected by simple functions of enumerations. We think that a better approach is obtained by considering the linear regression coefficient of ties $i\, ightarrow\,j$ on the number of two-paths $i\, ightarrow\,k ightarrow\,j$ for the $(n-2)$ possible intermediate nodes $k$. Two measures of transitivity based on correlation coefficients between the existence of a tie and the existence, or the number, of two-paths are developed, and called "Transitivity Phi" and "Transitivity Correlation". Some desirable properties for these measures are studied and compared to existing clustering coefficients, in both random (Erdös-Renyi) and in stylized networks (windmills). Furthermore, it is shown that under the condition of zero Transitivity Correlation, the total number of transitive triples is determined by four underlying features of any directed graph: size, density, reciprocity, and the covariance between indegrees and outdegrees. Also, it is demonstrated that plotting conditional probability of ties, given the number of two-paths, provides valuable insights into empirical regularities and irregularities of transitivity patterns.

研究动机与目标

• 解决传递性的理论表述（基于比较条件概率）与现有度量方法（依赖于传递三元组的简单计数）之间的脱节问题。
• 开发能够反映在存在间接路径时直接边出现倾向性增加的度量方法，与社会网络理论中传递性的概念定义保持一致。
• 提供一种相对而非绝对的传递性度量，以实现对不同规模和密度网络之间的有效比较。
• 证明传递性并非仅由三元组数量决定，而是由四个结构特征共同决定：网络规模、密度、互惠性以及度数协方差。
• 表明绘制给定两跳路径数量的条件边存在概率，可揭示传递性行为中的经验模式与异常现象。

提出的方法

• 将传递性Phi（TPhi）定义为：直接边(i,j)的存在性与通过随机选择的中间节点k存在的单个随机两跳路径(i→k→j)之间的相关性。
• 将传递性相关性（TC）定义为：直接边(i,j)的存在性与所有可能中间节点k的两跳路径总数(i→k→j)之间的相关性。
• 通过将边指示变量对两跳路径数量进行线性回归，推导出基于相关性的度量方法，将每对节点视为一个随机样本。
• 在典型网络（如风车图）和随机Erdős-Rényi网络中分析这些度量方法，以比较其行为特征与可解释性。
• 推导出TC = 0的理论条件，表明其等价于网络规模、密度、互惠性以及入度与出度之间协方差的特定组合。
• 以个体网络（即节点及其所有出邻居构成的诱导子图）作为计算两种度量方法的结构基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种反映其理论定义（即在存在间接路径时直接边出现倾向性增加）的方式度量传递性？
• RQ2 为何传统聚类系数无法捕捉传递性的比较性质，以及如何加以修正？
• RQ3 哪些结构特征决定了传递性相关性（TC）的取值？能否通过闭式条件刻画TC为零的情形？
• RQ4 在不同类型的网络中，尤其是风车图等高度传递性结构中，TPhi与TC的行为有何差异？
• RQ5 通过绘制给定两跳路径数量的条件边存在概率，是否能揭示现实网络中具有意义的经验规律？

主要发现

• 在具有多个叶片的风车图中，传递性相关性（TC）趋近于1，表明其具有强烈的传递性结构，而传递性Phi（TPhi）趋近于0，说明TC在这些情况下更能准确捕捉传递性。
• TC为零当且仅当网络的规模、密度、互惠性以及入度与出度之间的协方差满足特定联合条件，揭示了一种深层次的结构约束。
• 在Erdős-Rényi模型下，聚类系数可在(0,1)区间内取任意值，无论网络是否具有传递性，这凸显了其无法反映相对倾向性的缺陷。
• 绘制给定两跳路径数量的条件边存在概率，可揭示传递性中的经验规律与异常现象，例如偏离线性的趋势可能暗示隐藏机制的存在。
• 在由大小相等的不相交完全子图组成的网络中，TC与TPhi均达到1，表明最大传递性并非唯一由相关性度量所捕捉。
• 所提出的度量方法对网络规模与密度具有不变性，使得其可在不同网络之间进行有效比较，而传统聚类系数则不具备这一特性。