[论文解读] Transitivity degrees of countable groups and acylindrical hyperbolicity

Michael Hull, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 56被引用 6

一句话总结

本文证明了每个可数的狭义双曲群都存在一个高度可迁的忠实作用且核有限，统一并推广了关于高度可迁群的已知结果。其关键贡献在于一个二分法：此类群要么包含一个无限交错群的正规子群，要么在模型论上类似于自由群，该结果在广义理论和狭义双曲群中的混合恒等式研究中具有应用。

ABSTRACT

We prove that every countable acylindrically hyperbolic group admits a highly transitive action with finite kernel. This theorem uniformly generalizes many previously known results and allows us to answer a question of Garion and Glassner on the existence of highly transitive faithful actions of mapping class groups. It also implies that in various geometric and algebraic settings, the transitivity degree of an infinite group can only take two values, namely $1$ and $\infty$. Here by transitivity degree of a group we mean the supremum of transitivity degrees of its faithful permutation representations. Further, for any countable group $G$ admitting a highly transitive faithful action, we prove the following dichotomy: Either $G$ contains a normal subgroup isomorphic to the infinite alternating group or $G$ resembles a free product from the model theoretic point of view. We apply this theorem to obtain new results about universal theory and mixed identities of acylindrically hyperbolic groups. Finally, we discuss some open problems.

研究动机与目标

• 为解决无限可数群可迁度的开放问题，特别是此类群是否对每个 k ∈ ℕ 都具有可迁度 k。
• 确定映射类群及其他几何群是否存在高度可迁的忠实作用。
• 对无限群的可迁度可能取值进行分类，表明在许多情形下其可迁度只能为 1 或 ∞。
• 建立具有高度可迁作用的群的结构二分法：要么包含无限交错群，要么在模型论上类似于自由群。
• 将结果应用于狭义双曲群的广义理论和混合恒等式研究。

提出的方法

• 利用群在双曲度量空间上的狭义作用来刻画狭义双曲群。
• 通过将群嵌入 Sym(ℕ) 并利用狭义双曲群的结构，构造高度可迁作用，且核有限。
• 应用模型论技术分析此类群的混合恒等式和广义理论。
• 利用有限根 K(G) 和正规子群结构推导出二分定理。
• 利用自由群、曲面群和双曲群等已知结果作为特例，推广其可迁性性质。
• 运用置换群理论及有限对称群理论（如 FSym(ℕ)、Alt(ℕ)）分析可迁度。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个可数的狭义双曲群是否都存在一个高度可迁的忠实作用？
• RQ2 无限群的可迁度是否可以是任意有限的 k ∈ ℕ，还是被限制为 1 或 ∞？
• RQ3 映射类群是否如 Garion 和 Glassner 所问的那样存在高度可迁的忠实作用？
• RQ4 具有高度可迁作用的群的结构二分法是什么？
• RQ5 狭义双曲群中的混合恒等式和广义理论行为如何？

主要发现

• 每个可数的狭义双曲群都存在一个高度可迁的忠实作用，且核有限。
• 在许多几何与代数设定下，任何无限群的可迁度要么为 1，要么为 ∞。
• 对任意一个存在高度可迁忠实作用的可数群，要么其包含一个与无限交错群同构的正规子群，要么其在模型论上类似于自由群。
• 该结果通过证实映射类群存在高度可迁忠实作用，解决了 Garion 和 Glassner 的问题。
• 本文为狭义双曲群的广义理论和混合恒等式提供了新结果。
• 已证明 PGL(2,F) 的可迁度未知，且很可能不为 ∞，而 BS(2,3) 可能不具有高度可迁性，突显了可解群类中仍存在的开放问题。