[论文解读] Transitivity of codimension one Anosov actions of R^k on closed manifolds

Thierry Barbot, Carlos Maquera|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用 17

一句话总结

本文证明了在维数大于 k+2 的紧致、连通、可定向流形上，ℝᵏ 的余维数一 Anosov 作用是拓扑传递的。通过利用不稳定叶的仿射结构与余维数一 foliation 的拓扑性质，作者证明了 ℝᵏ 的每个正规子锥均以稠密轨道作用，推广了 Verjovsky 对余维数一 Anosov 流的结果。

ABSTRACT

In this paper, we define codimension one Anosov actions of $\RR^k, k\geq 2,$ on a closed connected orientable manifold $M$. We prove that if the ambient manifold has dimension greater than $k+2$, then the action is topologically transitive. This generalizes a result of Verjovsky for codimension one Anosov flows.

研究动机与目标

• 将 Verjovsky 关于余维数一 Anosov 流的结果推广至 ℝᵏ 的高秩作用。
• 研究当某个 ℝᵏ 作用元素的不稳定叶层维数为一的 Anosov 作用之传递性质。
• 确定此类作用在全 ℝᵏ 作用下或在子群作用下是否具有稠密轨道。
• 通过分析万有覆盖的轨道空间与叶层结构，推导出全局拓扑约束。

提出的方法

• 分析 ℝᵏ 的正规子锥 𝒞 ⊂ ℝᵏ 的不稳定叶层 𝔽ᵘᵘ，证明每个叶均具有被 ℝᵏ 作用保持的仿射结构。
• 利用余维数一叶层的经典理论，研究稳定叶层 𝔽ˢ 及其横截单值性。
• 构造万有覆盖 M̃ 上提升作用的轨道空间，证明其为 Hausdorff 流形，且同胚于 ℝⁿ⁻ᵏ。
• 基于不稳定叶与轨道空间中嵌入球面的交点，使用反证法排除紧致轨道的存在。
• 应用 Jordan-Schönflies 定理在轨道空间中嵌入拓扑球体，推导出拓扑障碍。
• 利用不稳定叶中至多包含一个紧致轨道的事实，当发现两个不动点时导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，ℝᵏ 的余维数一 Anosov 作用在紧致流形上是拓扑传递的？
• RQ2 当底流形维数大于 k+2 时，此类作用的传递性是否可被确立？
• RQ3 ℝᵏ 的每个正规子锥 𝒞 ⊂ ℝᵏ 是否在流形上作用具有稠密轨道？
• RQ4 在余维数一 Anosov 作用中，不稳定叶上仿射结构的存在会引出何种拓扑约束？
• RQ5 Verjovsky 关于 Anosov 流的猜想在多大程度上可推广至高秩 Anosov 作用？

主要发现

• 在维数大于 k+2 的紧致流形上，ℝᵏ 的余维数一 Anosov 作用是拓扑传递的。
• 对于任意正规子锥 𝒞 ⊂ ℝᵏ，点的 𝒞-轨道在流形中稠密，表明即使在子群作用下也具有强传递性。
• 万有覆盖上提升作用的轨道空间同胚于 ℝⁿ⁻ᵏ，是一个关键的拓扑不变量。
• 该作用的每个不稳定叶均具有被 ℝᵏ 作用保持的典范仿射结构。
• 若不稳定叶中存在紧致轨道，则除非该轨道为不动点，否则将导致矛盾，而此类不动点在动力系统下不可能存在。
• 证明依赖于不稳定叶与轨道空间中拓扑嵌入球面交点所导出的矛盾。